1. Vectores_y_Escalares.ipynb

{"nbformat":4,"nbformat_minor":0,"metadata":{"colab":{"name":"1. Copia de Vectores_y_Escalares.ipynb","provenance":[{"file_id":"1bBQM1NGeyGFesOgCTs9bWGRu7UqDWeQ7","timestamp":1609768727912}]},"kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"},"language_info":{"codemirror_mode":{"name":"ipython","version":3},"file_extension":".py","mimetype":"text/x-python","name":"python","nbconvert_exporter":"python","pygments_lexer":"ipython3","version":"3.7.3"}},"cells":[{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"EAZS5U92XOI7"},"source":["# 1. Vectores"]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"1jAWFRqlXRRZ"},"source":["Diremos que un *vector* es una lista finita de números. Lo podemos encontrar en dos presentaciones:\n","* Vector columna:\n","$$\n","\\begin{Bmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3\\end{Bmatrix} \\qquad o, \\qquad \\begin{bmatrix}1\\\\2\\\\3\\end{bmatrix} \\qquad o, \\qquad  \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}\n","$$\n","* Vector renglón\n","$$\n"," \\left( 1 , 2 , 3 \\right) \\qquad o \\qquad \\left[1,2,3\\right]\n","$$"]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"3hfoTfZ9ZI-l"},"source":["Los *elementos* (o *entradas, coeficientes, componentes*) son los valores en el arreglo (los de dentro de los corchetes). El *tamaño* (que también podremos llamar *dimensión* o *longitud*) es el número de elementos que contiene. Por ejemplo, todos los vectores de mostrados anteriormente son de dimension 3 o bien *$3$-vectores*. "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"dcHYlJrqaHG3"},"source":["En el caso de tener un $1$-vector, e.g. $\\left(1.5\\right)$, no haremos distinción entre el 1-vector y el *escalar* (o número, *parámetro*) $1.5$. "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"ZcP2dExzfBXS"},"source":["Ahora, si tenemos un $n$-vector $a$ su $i$-ésima entrada se denotara por $a_{i}$. \n","\n","Por ejemplo, si $a = (1,2,3)$ entonces $a_{0}$ es igual a $1$, $a_{1}$ es 2 y $a_{2}$ es 3.\n","\n","Otro ejemplo sería $b=(3.5,-2.4,0)$ entonces $b_{0}$ es 3.5, $b_{1}$ es -2.4 y $b_{2}$ es 0"]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"9lrtf-RVrtt3"},"source":["  "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"G4gJcImTrtt3"},"source":["Sean $a$,$b$ dos vectores. Diremos que $a=b$ si y solo si $a_{i}=b_{i}$ con i de $0$ a $n-1$.  \n","En símbolos: \n","* Sean $a$,$b$ dos vectores, $a = b \\; \\Leftrightarrow \\; a_{i}=b_{i} \\; con \\; 0\\le i \\le n-1$"]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"iivt98ycrtt3"},"source":["En el futuro nos vamos a referir a dos estrucuras: **espacios vectoriales** y **campos**. De manera simplificada podríamos pensar que los *números* viven en los campos mientras que los vectores viven en los espacios vectoriales.   \n","\n","Como ejemplo, supongamos que tenemos los números $a=1$,$b=2$ y $c=-3$. En este caso decimos que $a\\in \\mathbb{Z}$, $b\\in \\mathbb{Z}$ y $c\\in \\mathbb{Z}$ con $\\mathbb{Z}$ el **conjuto de los números enteros**. Para fines prácticos $\\mathbb{Z}$ es también un campo. \n","\n","Otro ejemplo sería considerar $a=1$,$b=2.2$ y $c=-3.99$- En este caso decimos que $a\\in \\mathbb{R}$, $b\\in \\mathbb{R}$ y $c\\in \\mathbb{R}$ con $\\mathbb{R}$ el **conjunto de los números reales**. Para fines prácticos $\\mathbb{R}$ es también un campo.  \n","\n","Como último ejemplo, sean $a=(0.2,-2)$ y $b=(-1.2,-3.4)$ dos vectores. En este caso decimos que $a\\in \\mathbb{R}^{2}$ y $b\\in \\mathbb{R}^{2}$, y en general para cualquier $v$ n-vector de entradas reales decimos que $v\\in \\mathbb{R}^{n}$. "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"FrsKhc8ertt3"},"source":["Así pues si el objeto del que estamos hablando es elemento de un espacio vectorial entonces nos referiremos a el como vector, en cambio si el objeto del que hablamos es elemento de un campo entonces nos referimos al mismo como *escalar*. "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"N8wrgTxJrtt3"},"source":["## 1.1 Algunas consideraciones"]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"F6gHa5P9rtt3"},"source":["**Bloque o stack de vectores**. Nos será útil definir vectores *concatenando* otros vectores. Por ejemplo, sean $a,b,c,d$ cuatro vectores con:\n","$$\n"," a = \\begin{bmatrix}b\\\\ c\\\\ d \\end{bmatrix} ,\n","$$\n","Si $b$ es un $m$-vector, $c$ un $n$-vector y $d$ un $p$-vector entonces a queda definido como el $(m+n+p)$-vector \n","$$\n","a = \\left( b_{0},b_{1},\\dots,b_{m-1},c_{0},c_{1},\\dots,c_{n-1},d_{0},d_{1},\\dots,d_{p-1} \\right)\n","$$  \n","Por ejemplo, si $B=(1,2)$ y $C=(1.2,-4.7,0.1)$ entonces tenemos que:\n","$$\n","A = \\left(B,C\\right) = \\left(1,2,1.2,-4.7,0.1 \\right)\n","$$"]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"s9tWVjT1rtt3"},"source":["  "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"deT5dDIprtt3"},"source":["**Subvector**.\n","Consideremos el ejemplo anterior donde $a$ es un $(m+n+p)$-vector. Vamos a considerar a $b,c,d$ subvectores de $a$ de tamaños $m,n$ y $p$ respectivamente. Para referirnos a cualquier subvector de $a$ usaremos la notación de dos puntos. Si consideramos $a$ nuestro vector entonces $a_{r:s}$ es un vector de tamaño $s-r+1$\n","$$\n","a_{r:s} = (a_{r},a_{r+1},\\dots, a_{s})\n","$$\n","El subíndice $r:s$ es llamado el *índice de rango*. Y así entonces, siguiente el ejemplo de anterior etenemos que:\n","$$\n","b = a_{0:(m-1)}, \\qquad c = a_{m:(m+n-1)}, \\qquad d=a_{(m+n):(m+n+p-1)}\n","$$"]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"zoPJWfvyrtt3"},"source":["  "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"vniwrKpartt3"},"source":["**Convención en notación**. Regularmente se trata de usar alguna notación ayudar a distiguir entre vectores y escalares. Por ejemplo, letras Griegas ($\\alpha, \\beta, \\gamma, \\dots, \\Omega$) pueden ser usadas para escalares mientras que letras minúsculas para vectores ($a,b,c,\\dots,x,y,z$). Otras conveciones incluyen denotar los vectores como letras minúsculas en negríta ($\\mathbf{a},\\dots,\\mathbf{x},\\mathbf{y},\\mathbf{z}$) y otras con flechas arriba de la letra ($\\vec{a},\\dots,\\vec{x},\\vec{y},\\vec{z}$). Estas convenciones no son un estándar y quien estudie esta materia debería de conocer las más comunes al igual que estar a la espera de poder ver nuevas.  \n","A lo largo de este curso se usarán de manera indistinta estas notaciones. "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"kLS61JVcrtt3"},"source":["  "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"ph6TzQR4rtt3"},"source":["**Indexación**. Quien estudie este curso deberá estar muy atento a este tema ya que en la gran mayoría de literatura el estándar es que los índices  de los $n$-vectores corran desde $i=1$ hasta $i=n$. En este curso, y salvo que se indique explícitamente lo contrario, los índices en los $n$-vectores correrán desde $i=0$ hasta $n-1$ para hacer más natural la introducción de los conceptos y problemas en python."]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"kzGWyI6krtt3"},"source":["  "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"_cy_0F3_rtt3"},"source":["**Cero vectores**. Un *cero vector* es un vector en el cual todos los elementos son igual a cero. Algunas veces el cero vector de dimensión $n$ es escrito como $\\mathbf{0}_{n}$ pero usualmente es denotado simplemente como $\\mathbf{0}$.  \n","Por ejemplo $\\mathbf{0} = (0,0)$"]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"ERs5SUCzrtt3"},"source":["  "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"m2MSoTPBrtt3"},"source":["**Uno vectores**. Los *uno vectores* son $n$-vectores en los cuales todas las entradas son igual a uno. Algunas veces son representados como $\\mathbf{1}_{n}$ pero usualmente es denotado simplemente como $\\mathbf{1}$.  \n","Un ejemplo sería el uno vector de dimensión 2: $\\mathbf{1} = (1,1)$.  "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"QNN4X6aIrtt3"},"source":["  "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"mvlVRwzxrtt3"},"source":["**Vectores unitarios**. El *vector unitario* $\\mathbf{e}_{i}$ es aquel en donde todas las entradas son cero salvo la $i$-ésima.  \n","Por ejemplo, si $\\mathbf{e}_{1}$, $\\mathbf{e}_{2}$ y $\\mathbf{e}_{3}$ son 3-vectores unitarios estos se ven como:\n","$$\n","\\mathbf{e}_{0} =  \\begin{bmatrix}1\\\\ 0\\\\ 0 \\end{bmatrix}, \\qquad \\mathbf{e}_{1} =  \\begin{bmatrix}0\\\\ 1\\\\ 0 \\end{bmatrix}, \\qquad \\mathbf{e}_{2} =  \\begin{bmatrix}0\\\\ 0\\\\ 1 \\end{bmatrix}\n","$$\n","Una forma de representar a los vectores unitarios es la siguiente:\n","$$\n","\\left(e_{i}\\right)_{j} =  \\left \\{ \\begin{matrix} 1 & \\mbox{si }i=j\n","\\\\ 0 & \\mbox{si }i\\neq j\\end{matrix}\\right. \n","$$"]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"atoVamRSrtt3"},"source":["## 1.2 Un ejemplo: Colores RGB"]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"hGCeDj4irtt3"},"source":["Casi todos los colores que conocemos se pueden genrar mediante [el modelo aditivo RGB](https://en.wikipedia.org/wiki/RGB_color_model).  \n","En este modelo se presentan los colores como combinaciones de *concetraciones* en un vector y en donde cada una de las entradas representa la concentracción de ese color."]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"ztRTG5-8rtt3"},"source":["Sea $\\vec{c}\\in\\mathbb{Z}_{+}^{3}$ (un vector de dimensión 3 cuyas entradas son todas únicamente enteros positivos). $c_{0}$ corresponde con la concetración de rojo, $c_{1}$ corresponde a la concetración de verde y $c_{2}$ corresponde con la concetración de azul.  \n","\n","Ahora, cualquier color lo vamos a poder representar como combinación de estos colores además el modelo completo es $(\\mathbb{Z}^{3},+)$ esto quiere decir que podemos sumar vectores de colores y y obtener un color nuevo que exista. "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"AD0NGCGKrtt3"},"source":["Por ejemplo el vector $\\mathbf{0}$ en este caso corresponde con el color negro, el vector $(255,0,0)$ correponde a rojo y el vector $(0,255,0)$ corresponde al verde. Si sumamos los vectores tenemos entonces el vector $(255,255,0)$ que corresponde al amarillo."]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"ypDrVcmlrtt3"},"source":["En python estos vectores los podemos representar mediante listas."]},{"cell_type":"code","metadata":{"id":"0VTsWl9zrtt4","executionInfo":{"status":"ok","timestamp":1609775047861,"user_tz":180,"elapsed":870,"user":{"displayName":"Jorge Lara","photoUrl":"https://lh3.googleusercontent.com/a-/AOh14GjY-6RgfaZRh6VLfo8iL7MS9Ckc1KUruQ9ULiwYapI=s64","userId":"00540487147347378820"}}},"source":["rojo = [255,0,0]\n","verde = [0,255,0] \n","azul = [0,0,255]\n","negro = [0,0,0]"],"execution_count":1,"outputs":[]},{"cell_type":"code","metadata":{"id":"ZIZcIoZkrtt4","colab":{"base_uri":"https://localhost:8080/"},"executionInfo":{"status":"ok","timestamp":1609775051250,"user_tz":180,"elapsed":857,"user":{"displayName":"Jorge Lara","photoUrl":"https://lh3.googleusercontent.com/a-/AOh14GjY-6RgfaZRh6VLfo8iL7MS9Ckc1KUruQ9ULiwYapI=s64","userId":"00540487147347378820"}},"outputId":"2dc3a904-fd0a-49e6-f09d-b4fbd0fe28e4"},"source":["print('El color rojo en el modelo RGB se puede representar por el vector:',rojo)"],"execution_count":2,"outputs":[{"output_type":"stream","text":["El color rojo en el modelo RGB se puede representar por el vector: [255, 0, 0]\n"],"name":"stdout"}]},{"cell_type":"code","metadata":{"id":"z4W6J3C9rtt5","colab":{"base_uri":"https://localhost:8080/"},"executionInfo":{"status":"ok","timestamp":1609775053963,"user_tz":180,"elapsed":847,"user":{"displayName":"Jorge Lara","photoUrl":"https://lh3.googleusercontent.com/a-/AOh14GjY-6RgfaZRh6VLfo8iL7MS9Ckc1KUruQ9ULiwYapI=s64","userId":"00540487147347378820"}},"outputId":"9b42a36a-93dc-4222-9b65-b133aeb6f3b6"},"source":["print('El color verde en el modelo RGB se puede representar por el vector:',verde)"],"execution_count":3,"outputs":[{"output_type":"stream","text":["El color verde en el modelo RGB se puede representar por el vector: [0, 255, 0]\n"],"name":"stdout"}]},{"cell_type":"code","metadata":{"id":"omjlQJW3rtt5","colab":{"base_uri":"https://localhost:8080/"},"executionInfo":{"status":"ok","timestamp":1609775055696,"user_tz":180,"elapsed":853,"user":{"displayName":"Jorge Lara","photoUrl":"https://lh3.googleusercontent.com/a-/AOh14GjY-6RgfaZRh6VLfo8iL7MS9Ckc1KUruQ9ULiwYapI=s64","userId":"00540487147347378820"}},"outputId":"7348544d-8675-486e-cb84-de6016b91beb"},"source":["print('El color negro en el modelo RGB se puede representar por el vector:',negro)"],"execution_count":4,"outputs":[{"output_type":"stream","text":["El color negro en el modelo RGB se puede representar por el vector: [0, 0, 0]\n"],"name":"stdout"}]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"s3r_d55zrtt6"},"source":["  "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"IM3PK_k3rtt6"},"source":["En python podemos responder también la pregunta de la dimensión del vector mediante la función **len**"]},{"cell_type":"code","metadata":{"id":"5RkjOJh_rtt6","colab":{"base_uri":"https://localhost:8080/"},"executionInfo":{"status":"ok","timestamp":1609775059437,"user_tz":180,"elapsed":859,"user":{"displayName":"Jorge Lara","photoUrl":"https://lh3.googleusercontent.com/a-/AOh14GjY-6RgfaZRh6VLfo8iL7MS9Ckc1KUruQ9ULiwYapI=s64","userId":"00540487147347378820"}},"outputId":"22045005-d4a1-4836-b4a2-4b5b0fc36dde"},"source":["print('La dimensión de un vector del modelo RGB es',len(verde))"],"execution_count":5,"outputs":[{"output_type":"stream","text":["La dimensión de un vector del modelo RGB es 3\n"],"name":"stdout"}]},{"cell_type":"code","metadata":{"colab":{"base_uri":"https://localhost:8080/"},"id":"4fHedhyKEo87","executionInfo":{"status":"ok","timestamp":1609775115693,"user_tz":180,"elapsed":1865,"user":{"displayName":"Jorge Lara","photoUrl":"https://lh3.googleusercontent.com/a-/AOh14GjY-6RgfaZRh6VLfo8iL7MS9Ckc1KUruQ9ULiwYapI=s64","userId":"00540487147347378820"}},"outputId":"fd400439-da9c-4824-d7ba-6a6f2cdc5fd8"},"source":["print('La dimensión de un vector del modelo RGB es',len(rojo))"],"execution_count":6,"outputs":[{"output_type":"stream","text":["La dimensión de un vector del modelo RGB es 3\n"],"name":"stdout"}]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"zevMfNn_rtt6"},"source":["  "]},{"cell_type":"markdown","metadata":{"id":"SZAFnkJIrtt6"},"source":["De igual manera poder crear un stack de vectores pendiante el operador **+**. 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