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true
困难
2123
第 254 场周赛 Q4
深度优先搜索
广度优先搜索
并查集
数组
二分查找
矩阵

1970. 你能穿过矩阵的最后一天

English Version

题目描述

给你一个下标从 1 开始的二进制矩阵，其中 0 表示陆地，1 表示水域。同时给你 row 和 col 分别表示矩阵中行和列的数目。

一开始在第 0 天，整个 矩阵都是 陆地 。但每一天都会有一块新陆地被 水 淹没变成水域。给你一个下标从 1 开始的二维数组 cells ，其中 cells[i] = [ri, ci] 表示在第 i 天，第 ri 行 ci 列（下标都是从 1 开始）的陆地会变成 水域 （也就是 0 变成 1 ）。

你想知道从矩阵最 上面 一行走到最 下面 一行，且只经过陆地格子的 最后一天 是哪一天。你可以从最上面一行的 任意 格子出发，到达最下面一行的 任意 格子。你只能沿着 四个 基本方向移动（也就是上下左右）。

请返回只经过陆地格子能从最 上面 一行走到最 下面 一行的 最后一天 。

 

示例 1：

输入：row = 2, col = 2, cells = [[1,1],[2,1],[1,2],[2,2]]
输出：2
解释：上图描述了矩阵从第 0 天开始是如何变化的。
可以从最上面一行到最下面一行的最后一天是第 2 天。

示例 2：

输入：row = 2, col = 2, cells = [[1,1],[1,2],[2,1],[2,2]]
输出：1
解释：上图描述了矩阵从第 0 天开始是如何变化的。
可以从最上面一行到最下面一行的最后一天是第 1 天。

示例 3：

输入：row = 3, col = 3, cells = [[1,2],[2,1],[3,3],[2,2],[1,1],[1,3],[2,3],[3,2],[3,1]]
输出：3
解释：上图描述了矩阵从第 0 天开始是如何变化的。
可以从最上面一行到最下面一行的最后一天是第 3 天。

 

提示：

  • 2 <= row, col <= 2 * 104
  • 4 <= row * col <= 2 * 104
  • cells.length == row * col
  • 1 <= ri <= row
  • 1 <= ci <= col
  • cells 中的所有格子坐标都是 唯一 的。

解法

方法一：二分查找 + BFS

我们注意到，如果我们能在第 $k$ 天从最上面一行走到最下面一行，那么对于任意 $0 \lt k' \lt k$，我们也能在第 $k'$ 天从最上面一行走到最下面一行。这存在着单调性，因此，我们可以使用二分查找，找到最大的 $k$，使得我们能在第 $k$ 天从最上面一行走到最下面一行。

我们定义二分查找的左边界 $l = 1$，右边界 $r = |cells|$，其中 $|cells|$ 表示数组 $cells$ 的长度。然后，我们二分枚举 $k$，对于每一个 $k$，我们取 $\textit{cells}$ 的前 $k$ 个元素，将这些元素对应的格子变成水域，然后使用广度优先搜索，从最上面一行开始，尝试走到最下面一行。如果我们能走到最下面一行，那么说明我们可以在第 $k$ 天从最上面一行走到最下面一行，我们就将左边界 $l$ 更新为 $k$，否则，我们将右边界 $r$ 更新为 $k - 1$。

时间复杂度 $O(m \times n \times \log (m \times n))$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别表示矩阵的行数和列数。

Python3

class Solution:
    def latestDayToCross(self, row: int, col: int, cells: List[List[int]]) -> int:
        def check(k: int) -> bool:
            g = [[0] * col for _ in range(row)]
            for i, j in cells[:k]:
                g[i - 1][j - 1] = 1
            q = [(0, j) for j in range(col) if g[0][j] == 0]
            for x, y in q:
                if x == row - 1:
                    return True
                for a, b in pairwise(dirs):
                    nx, ny = x + a, y + b
                    if 0 <= nx < row and 0 <= ny < col and g[nx][ny] == 0:
                        q.append((nx, ny))
                        g[nx][ny] = 1
            return False

        n = row * col
        l, r = 1, n
        dirs = (-1, 0, 1, 0, -1)
        while l < r:
            mid = (l + r + 1) >> 1
            if check(mid):
                l = mid
            else:
                r = mid - 1
        return l

Java

class Solution {
    private int[][] cells;
    private int m;
    private int n;

    public int latestDayToCross(int row, int col, int[][] cells) {
        int l = 1, r = cells.length;
        this.cells = cells;
        this.m = row;
        this.n = col;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r + 1) >> 1;
            if (check(mid)) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return l;
    }

    private boolean check(int k) {
        int[][] g = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            g[cells[i][0] - 1][cells[i][1] - 1] = 1;
        }
        final int[] dirs = {-1, 0, 1, 0, -1};
        Deque<int[]> q = new ArrayDeque<>();
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (g[0][j] == 0) {
                q.offer(new int[] {0, j});
                g[0][j] = 1;
            }
        }
        while (!q.isEmpty()) {
            int[] p = q.poll();
            int x = p[0], y = p[1];
            if (x == m - 1) {
                return true;
            }
            for (int i = 0; i < 4; i++) {
                int nx = x + dirs[i], ny = y + dirs[i + 1];
                if (nx >= 0 && nx < m && ny >= 0 && ny < n && g[nx][ny] == 0) {
                    q.offer(new int[] {nx, ny});
                    g[nx][ny] = 1;
                }
            }
        }
        return false;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int latestDayToCross(int row, int col, vector<vector<int>>& cells) {
        int l = 1, r = cells.size();
        int g[row][col];
        int dirs[5] = {0, 1, 0, -1, 0};
        auto check = [&](int k) -> bool {
            memset(g, 0, sizeof(g));
            for (int i = 0; i < k; ++i) {
                g[cells[i][0] - 1][cells[i][1] - 1] = 1;
            }
            queue<pair<int, int>> q;
            for (int j = 0; j < col; ++j) {
                if (g[0][j] == 0) {
                    q.emplace(0, j);
                    g[0][j] = 1;
                }
            }
            while (!q.empty()) {
                auto [x, y] = q.front();
                q.pop();
                if (x == row - 1) {
                    return true;
                }
                for (int i = 0; i < 4; ++i) {
                    int nx = x + dirs[i];
                    int ny = y + dirs[i + 1];
                    if (nx >= 0 && nx < row && ny >= 0 && ny < col && g[nx][ny] == 0) {
                        q.emplace(nx, ny);
                        g[nx][ny] = 1;
                    }
                }
            }
            return false;
        };
        while (l < r) {
            int mid = (l + r + 1) >> 1;
            if (check(mid)) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return l;
    }
};

Go

func latestDayToCross(row int, col int, cells [][]int) int {
	l, r := 1, len(cells)
	dirs := [5]int{-1, 0, 1, 0, -1}
	check := func(k int) bool {
		g := make([][]int, row)
		for i := range g {
			g[i] = make([]int, col)
		}
		for i := 0; i < k; i++ {
			g[cells[i][0]-1][cells[i][1]-1] = 1
		}
		q := [][2]int{}
		for j := 0; j < col; j++ {
			if g[0][j] == 0 {
				g[0][j] = 1
				q = append(q, [2]int{0, j})
			}
		}
		for len(q) > 0 {
			x, y := q[0][0], q[0][1]
			q = q[1:]
			if x == row-1 {
				return true
			}
			for i := 0; i < 4; i++ {
				nx, ny := x+dirs[i], y+dirs[i+1]
				if nx >= 0 && nx < row && ny >= 0 && ny < col && g[nx][ny] == 0 {
					g[nx][ny] = 1
					q = append(q, [2]int{nx, ny})
				}
			}
		}
		return false
	}
	for l < r {
		mid := (l + r + 1) >> 1
		if check(mid) {
			l = mid
		} else {
			r = mid - 1
		}
	}
	return l
}

TypeScript

function latestDayToCross(row: number, col: number, cells: number[][]): number {
    let [l, r] = [1, cells.length];
    const check = (k: number): boolean => {
        const g: number[][] = Array.from({ length: row }, () => Array(col).fill(0));
        for (let i = 0; i < k; ++i) {
            const [x, y] = cells[i];
            g[x - 1][y - 1] = 1;
        }
        const q: number[][] = [];
        for (let j = 0; j < col; ++j) {
            if (g[0][j] === 0) {
                q.push([0, j]);
                g[0][j] = 1;
            }
        }
        const dirs: number[] = [-1, 0, 1, 0, -1];
        for (const [x, y] of q) {
            if (x === row - 1) {
                return true;
            }
            for (let i = 0; i < 4; ++i) {
                const nx = x + dirs[i];
                const ny = y + dirs[i + 1];
                if (nx >= 0 && nx < row && ny >= 0 && ny < col && g[nx][ny] === 0) {
                    q.push([nx, ny]);
                    g[nx][ny] = 1;
                }
            }
        }
        return false;
    };
    while (l < r) {
        const mid = (l + r + 1) >> 1;
        if (check(mid)) {
            l = mid;
        } else {
            r = mid - 1;
        }
    }
    return l;
}

方法二：并查集

我们可以先将所有的陆地格子初始化为 $1$，然后倒序遍历数组 $\textit{cells}$，将每个格子对应的陆地格子变成 $0$，并将其与上下左右的陆地格子合并。我们还需要维护两个虚拟节点 $s$ 和 $t$，分别表示最上面一行和最下面一行的虚拟节点。如果 $s$ 和 $t$ 在并查集中连通，那么说明我们可以在第 $i$ 天从最上面一行走到最下面一行。

时间复杂度 $O(m \times n \times \alpha(m \times n))$，空间复杂度 $O(m \times n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别表示矩阵的行数和列数，而 $\alpha$ 表示 Ackermann 函数的反函数。

Python3

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.p = list(range(n))
        self.size = [1] * n

    def find(self, x):
        if self.p[x] != x:
            self.p[x] = self.find(self.p[x])
        return self.p[x]

    def union(self, a, b):
        pa, pb = self.find(a), self.find(b)
        if pa == pb:
            return False
        if self.size[pa] > self.size[pb]:
            self.p[pb] = pa
            self.size[pa] += self.size[pb]
        else:
            self.p[pa] = pb
            self.size[pb] += self.size[pa]
        return True


class Solution:
    def latestDayToCross(self, row: int, col: int, cells: List[List[int]]) -> int:
        mn = len(cells)
        uf = UnionFind(mn + 2)
        s, t = mn, mn + 1
        dirs = (-1, 0, 1, 0, -1)
        g = [[1] * col for _ in range(row)]
        for i in range(mn - 1, -1, -1):
            x, y = cells[i][0] - 1, cells[i][1] - 1
            g[x][y] = 0
            for a, b in pairwise(dirs):
                nx, ny = x + a, y + b
                if 0 <= nx < row and 0 <= ny < col and g[nx][ny] == 0:
                    uf.union(x * col + y, nx * col + ny)
            if x == 0:
                uf.union(y, s)
            if x == row - 1:
                uf.union(x * col + y, t)
            if uf.find(s) == uf.find(t):
                return i

Java

class UnionFind {
    private final int[] p;
    private final int[] size;

    public UnionFind(int n) {
        p = new int[n];
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            p[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }

    public int find(int x) {
        if (p[x] != x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }

    public boolean union(int a, int b) {
        int pa = find(a), pb = find(b);
        if (pa == pb) {
            return false;
        }
        if (size[pa] > size[pb]) {
            p[pb] = pa;
            size[pa] += size[pb];
        } else {
            p[pa] = pb;
            size[pb] += size[pa];
        }
        return true;
    }
}

class Solution {
    public int latestDayToCross(int row, int col, int[][] cells) {
        int mn = cells.length;
        UnionFind uf = new UnionFind(mn + 2);
        int s = mn, t = mn + 1;
        int[][] g = new int[row][col];
        for (var e : g) {
            Arrays.fill(e, 1);
        }
        final int[] dirs = {-1, 0, 1, 0, -1};
        for (int i = mn - 1;; --i) {
            int x = cells[i][0] - 1, y = cells[i][1] - 1;
            g[x][y] = 0;
            for (int j = 0; j < 4; ++j) {
                int nx = x + dirs[j], ny = y + dirs[j + 1];
                if (nx >= 0 && nx < row && ny >= 0 && ny < col && g[nx][ny] == 0) {
                    uf.union(x * col + y, nx * col + ny);
                }
            }
            if (x == 0) {
                uf.union(s, x * col + y);
            }
            if (x == row - 1) {
                uf.union(t, x * col + y);
            }
            if (uf.find(s) == uf.find(t)) {
                return i;
            }
        }
    }
}

C++

class UnionFind {
public:
    UnionFind(int n) {
        p = vector<int>(n);
        size = vector<int>(n, 1);
        iota(p.begin(), p.end(), 0);
    }

    bool unite(int a, int b) {
        int pa = find(a), pb = find(b);
        if (pa == pb) {
            return false;
        }
        if (size[pa] > size[pb]) {
            p[pb] = pa;
            size[pa] += size[pb];
        } else {
            p[pa] = pb;
            size[pb] += size[pa];
        }
        return true;
    }

    int find(int x) {
        if (p[x] != x) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }

private:
    vector<int> p, size;
};

class Solution {
public:
    int latestDayToCross(int row, int col, vector<vector<int>>& cells) {
        int mn = cells.size();
        UnionFind uf(mn + 2);
        int s = mn, t = mn + 1;
        vector<vector<int>> g(row, vector<int>(col, 1));
        const int dirs[5] = {0, 1, 0, -1, 0};
        for (int i = mn - 1;; --i) {
            int x = cells[i][0] - 1, y = cells[i][1] - 1;
            g[x][y] = 0;
            for (int j = 0; j < 4; ++j) {
                int nx = x + dirs[j], ny = y + dirs[j + 1];
                if (nx >= 0 && nx < row && ny >= 0 && ny < col && g[nx][ny] == 0) {
                    uf.unite(x * col + y, nx * col + ny);
                }
            }
            if (x == 0) {
                uf.unite(s, x * col + y);
            }
            if (x == row - 1) {
                uf.unite(t, x * col + y);
            }
            if (uf.find(s) == uf.find(t)) {
                return i;
            }
        }
    }
};

Go

type unionFind struct {
	p, size []int
}

func newUnionFind(n int) *unionFind {
	p := make([]int, n)
	size := make([]int, n)
	for i := range p {
		p[i] = i
		size[i] = 1
	}
	return &unionFind{p, size}
}

func (uf *unionFind) find(x int) int {
	if uf.p[x] != x {
		uf.p[x] = uf.find(uf.p[x])
	}
	return uf.p[x]
}

func (uf *unionFind) union(a, b int) bool {
	pa, pb := uf.find(a), uf.find(b)
	if pa == pb {
		return false
	}
	if uf.size[pa] > uf.size[pb] {
		uf.p[pb] = pa
		uf.size[pa] += uf.size[pb]
	} else {
		uf.p[pa] = pb
		uf.size[pb] += uf.size[pa]
	}
	return true
}

func latestDayToCross(row int, col int, cells [][]int) int {
	mn := len(cells)
	uf := newUnionFind(mn + 2)
	s, t := mn, mn+1
	g := make([][]int, row)
	for i := range g {
		g[i] = make([]int, col)
		for j := range g[i] {
			g[i][j] = 1
		}
	}
	dirs := [5]int{-1, 0, 1, 0, -1}
	for i := mn - 1; ; i-- {
		x, y := cells[i][0]-1, cells[i][1]-1
		g[x][y] = 0
		for j := 0; j < 4; j++ {
			nx, ny := x+dirs[j], y+dirs[j+1]
			if nx >= 0 && nx < row && ny >= 0 && ny < col && g[nx][ny] == 0 {
				uf.union(x*col+y, nx*col+ny)
			}
		}
		if x == 0 {
			uf.union(s, x*col+y)
		}
		if x == row-1 {
			uf.union(t, x*col+y)
		}
		if uf.find(s) == uf.find(t) {
			return i
		}
	}
}

TypeScript

class UnionFind {
    p: number[];
    size: number[];
    constructor(n: number) {
        this.p = Array(n)
            .fill(0)
            .map((_, i) => i);
        this.size = Array(n).fill(1);
    }

    find(x: number): number {
        if (this.p[x] !== x) {
            this.p[x] = this.find(this.p[x]);
        }
        return this.p[x];
    }

    union(a: number, b: number): boolean {
        const [pa, pb] = [this.find(a), this.find(b)];
        if (pa === pb) {
            return false;
        }
        if (this.size[pa] > this.size[pb]) {
            this.p[pb] = pa;
            this.size[pa] += this.size[pb];
        } else {
            this.p[pa] = pb;
            this.size[pb] += this.size[pa];
        }
        return true;
    }
}

function latestDayToCross(row: number, col: number, cells: number[][]): number {
    const mn = cells.length;
    const uf = new UnionFind(row * col + 2);
    const [s, t] = [mn, mn + 1];
    const g: number[][] = Array.from({ length: row }, () => Array(col).fill(1));
    const dirs: number[] = [-1, 0, 1, 0, -1];
    for (let i = mn - 1; ; --i) {
        const [x, y] = [cells[i][0] - 1, cells[i][1] - 1];
        g[x][y] = 0;
        for (let j = 0; j < 4; ++j) {
            const [nx, ny] = [x + dirs[j], y + dirs[j + 1]];
            if (nx >= 0 && nx < row && ny >= 0 && ny < col && g[nx][ny] === 0) {
                uf.union(x * col + y, nx * col + ny);
            }
        }
        if (x === 0) {
            uf.union(s, y);
        }
        if (x === row - 1) {
            uf.union(t, x * col + y);
        }
        if (uf.find(s) === uf.find(t)) {
            return i;
        }
    }
}