-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 12
/
教案-函数.tex
1026 lines (936 loc) · 47.3 KB
/
教案-函数.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
\chapter{函数}
\section{基础概念}
\noindent \textbf{关键词}:定义域,值域,单调性,奇偶性(轴对称与中心对称),周期性($ f(x)=f(x+T) $),零点,极值(点),极点$ ^* $,渐近线。
\begin{itemize}[leftmargin=\inteval{\myitemleftmargin}pt,itemsep=
\inteval{\myitemitempsep}pt,topsep=\inteval{\myitemtopsep}pt]
\item 零点:使$ f(x)=0 $的$ x $.
\item 极值点:设函数$ f(x) $在区间$ I $上有定义,$ x_0\in I $,若$ \exists\ \sigma>0,\ \forall\ x\in(x_0-\sigma,x_0+\sigma) $\footnote{$ \exists $表示存在,$ \forall $表示任意。},有$ f(x)\leq f(x_0) $(或$ f(x)\geq f(x_0) $),则称$ f(x_0) $是函数$ f(x) $的一个极大值(或极小值),$ x_0 $是函数的一个极大值点(或极小值点),但有时候也把$ (x_0,f(x_0)) $称为极大值点(或极小值点)。极大值与极小值统称为极值;极大值点与极小值点统称为极值点。高中阶段基本只考察连续、可导的函数,可以认为极值只会在$ f'(x)=0 $的位置取得。
% \item 极点(pole)$ ^* $:使$ f(x)\to +\infty $或$-\infty $的$ x $,比如$ x=0 $是$ \dfrac{1}{x^2} $的极点\footnote{可查阅https://complex-analysis.com/content/classification\_of\_singularities.html,或者\ 胡嗣柱,倪光炯. 数学物理方法[M]. 高等教育出版社,2002. }。
\item 定义域主要考点:\\
(1)分母不为0;\\
(2)对数函数$ \log_a() $括号内的表达式大于0;\\
(3)偶数次根式(主要是二次根式)下的表达式大于等于0;\\
(4)正切函数$ \tan() $括号内的表达式不等于$ k\pi+\dfrac{\pi}{2} $.
\end{itemize}
\section{值域}
\begin{itemize}[leftmargin=\inteval{\myitemleftmargin}pt,itemsep=
\inteval{\myitemitempsep}pt,topsep=\inteval{\myitemtopsep}pt]
\item 一般的三次曲线是指形如下式的曲线:
\begin{gather*}
a_{30}x^3+a_{21}x^2y+a_{12}xy^2+a_{03}y^3+b_{20}x^2+b_{11}xy+b_{02}y^2+
c_{10}x+c_{01}y+d=0
\end{gather*}
其中,$ a_{30},a_{21},a_{12},a_{03} $不全为0. 三次曲线种类繁多\footnote{陈谷新.
平面三次代数曲线\ 连载No.1$ \sim $No.8[J]. (工程)图学学报, 1988年起。},
在此不做详细介绍。
\item 求$ y=\dfrac{Ax+B}{Cx+D} $的值域:
\begin{align}\label{分子分母化为首1多项式}
\dfrac{Ax+B}{Cx+D} =
\dfrac{A}{C}\cdot\dfrac{x+\dfrac{D}{C}-\dfrac{D}{C}+\dfrac{B}{A}}
{x+\dfrac{D}{C}}=\dfrac{A}{C}\cdot
\left(1+\dfrac{-\dfrac{D}{C}+\dfrac{B}{A}}{x+\dfrac{D}{C}}\right)
\end{align}
求$ y=\dfrac{A\sin x+B}{C\sin x+D}$和$ y=\dfrac{Aa^x+B}{Ca^x+D}$的值域的方法同上。
\item 求$ y=\dfrac{x^2+Ax+B}{x+C} $或$ y=\dfrac{x+C}{x^2+Ax+B} $的值域:\\
若分子或分母的最高次项系数不为1,可以像(\ref{分子分母化为首1多项式})式一样,
通过提取公因数化为1. \\
\textbf{方法一}\ 做代换$ t=x+C $,那么$ x=t-C $,
\begin{align*}
\dfrac{x^2+Ax+B}{x+C}=&\ \dfrac{(t-C)^2+A(t-C)+B}{t}\\
=&\ \dfrac{t^2+(A-2C)t+C^2-AC+B}{t}=t+(A-2C)+\dfrac{C^2-AC+B}{t}
\end{align*}
问题就转化成了求关于$ t $的双曲线的值域,可能是双钩函数,也可能是无极值的函数。\\
\textbf{方法二}\ 判别式,$ y(x+C)=x^2+Ax+B,\ x^2+(A-y)x+(B-yC)=0 $,
\begin{align*}
\Delta=(A-y)^2-4(B-yC)=y^2+(4C-2A)y+A^2-4B\geq 0
\end{align*}
\textbf{注}\ $ y=\dfrac{x+C}{x^2+Ax+B} $属于三次曲线,因为它可以变形为$ y(x^2+Ax+B)-x-C=0 $.
\item 求$ y=\dfrac{x^2+Ax+B}{x^2+Cx+D} $(属于三次曲线)的值域:
\begin{align*}
\dfrac{x^2+Ax+B}{x^2+Cx+D} =&\ \dfrac{x^2+Cx+D+(A-C)x+(B-D)}{x^2+Cx+D} \\
=&\ 1+\dfrac{(A-C)x+(B-D)}{x^2+Cx+D} \\
=&\ \left\{\begin{aligned}
& 1+\dfrac{B-D}{x^2+Cx+D} & (A = C) \\
& 1+(A-C)\dfrac{x+\dfrac{B-D}{A-C}}{x^2+Cx+D} \ \ & (A\neq C)
\end{aligned} \right.
\end{align*}
再做代换$ t=x+\dfrac{B-D}{A-C} $即可。当然也可以直接使用判别式法。
\item 求$ y=\dfrac{x+A}{\sqrt{x^2+Cx+D}} $的值域:\\
\textbf{方法一}\ 考虑$ y^2=\dfrac{x^2+2Ax+A^2}{x^2+Cx+D}
=1+\dfrac{(2A-C)x+(A^2-D)}{x^2+Cx+D} $. \\
\textbf{方法二}\ 做代换$ t=x+A $,那么$ x=t-A $,
\begin{align*}
y=\dfrac{t}{\sqrt{(t-A)^2+C(t-A)+D}}=&\ \dfrac{t}{\sqrt{t^2+(C-2A)t+A^2-AC+D}} \\
=&\ \pm \dfrac{1}{\sqrt{1+(C-2A)\dfrac{1}{t}+(A^2-AC+D)\dfrac{1}{t^2}}}
\end{align*}
其中,$ 1+(C-2A)\dfrac{1}{t}+(A^2-AC+D)\dfrac{1}{t^2} $是一个关于$ \dfrac{1}{t} $
的二次函数,容易求出值域。
\item 求$ y= \dfrac{Ax-\sqrt{Bx^2+C}}{Ax+\sqrt{Bx^2+C}} $的值域:\\
\textbf{方法一}
\begin{align*}
\dfrac{Ax-\sqrt{Bx^2+C}}{Ax+\sqrt{Bx^2+C}} =&\
\dfrac{Ax+\sqrt{Bx^2+C}-2\sqrt{Bx^2+C}}{Ax+\sqrt{Bx^2+C}} \\
=&\ 1-\dfrac{2\sqrt{Bx^2+C}}{Ax+\sqrt{Bx^2+C}} \\
=&\ 1-\dfrac{2}{\dfrac{Ax}{\sqrt{Bx^2+C}}+1} \\
=&\ 1-\dfrac{2}{\dfrac{\pm A}{\sqrt{B+\dfrac{C}{x^2}}}+1}
\end{align*}
$ A $前面的正负号取决于$ x $的正负。\\
\textbf{方法二}
\begin{align*}
y+\dfrac{1}{y}=&\ \dfrac{Ax-\sqrt{Bx^2+C}}{Ax+\sqrt{Bx^2+C}}+
\dfrac{Ax+\sqrt{Bx^2+C}}{Ax-\sqrt{Bx^2+C}} \\
=&\ \dfrac{2(A^2+B^2)x^2+2C}{(A^2-B^2)x^2+C} \\
=&\ \dfrac{2(A^2+B^2)}{A^2-B^2}\cdot
\dfrac{x^2+\dfrac{C}{A^2+B^2}}{x^2+\dfrac{C}{A^2-B^2}} \\
=&\ \dfrac{2(A^2+B^2)}{A^2-B^2}\cdot \left(1+
\dfrac{\dfrac{C}{A^2+B^2}-\dfrac{C}{A^2-B^2}}{x^2+\dfrac{C}{A^2-B^2}} \right)
\end{align*}
先求出$ y+\dfrac{1}{y} $的范围,再求$ y $的范围。\\
\textbf{方法三}\ 判别式
\begin{gather*}
yAx+y\sqrt{Bx^2+C}=Ax-\sqrt{Bx^2+C} \\
(y+1)\sqrt{Bx^2+C}=Ax(1-y) \\
[B(y+1)^2-A^2(1-y)^2]x^2+C(y+1)^2=0 \\
\Delta =-4[B(y+1)^2-A^2(1-y)^2]C(y+1)^2\geq 0
\end{gather*}
先求解方程$ (B-A^2)y^2+2(B+A^2)y+(B-A^2)=0 $,然后根据$ C $的正负决定区间。
\item 函数$ y=|x-b_1|+|x-b_2| $的最小值在区间$ [b_1,b_2] $内取得(假设$ b_1<
b_2 $),在此区间内,函数值为常数$ b_2-b_1 $. 函数$ y=|x-b_1|+|x-b_2|+|x-b_3| $
的最小值在$ x=b_2 $处取得(假设$ b_1<b_2<b_3 $),最小值为$ b_3-b_1 $.
更一般地,对于$ y=|x-b_1|+|x-b_2|+\cdots+|x-b_n| $,假设$ b_1<b_2<\cdots<b_n $,
如果$ n $是偶数,那么最小值在区间$ [b_{\frac{n}{2}},b_{\frac{n}{2}+1}] $
内取得;如果$ n $是奇数,那么最小值在$ x=b_{\frac{n+1}{2}} $处取得。
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{多个绝对值之和}
\end{figure}
\item 函数$ y=|x-b_1|-|x-b_2| $的图像是“两头平,中间斜”。
而$ y=|x-b_1|-|x-b_2|-|x-b_3| $的图像则比较复杂。
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{几个绝对值之差}
\end{figure}
\item \textbf{零点存在定理}\ 若函数$ f(x) $在闭区间$ [a,b] $连续,
且$ f(a)\cdot f(b)<0 $,则一定存在$ x_0\in(a,b) $,使$ f(x_0)=0 $.
此定理为二分法找函数零点的理论基础。
\item \textbf{介值定理(中间值定理)}\ 若函数$ f(x) $在闭区间$ [a,b] $连续,则它一定能取到介于最大值和最小值之间的任何一个值。
\item 解决恒成立问题或有解问题,第一步通常是分离变量,使得不等号的两侧均只包含一个变量,然后
求某一边函数的最值。($ \exists $表示存在,$ \forall $表示任意。)
\begin{align*}
\exists\ x_0\in(a,b),\ f(x_0)>m &\ \Rightarrow \ f(x)_{\max} >m \\
\exists\ x_0\in(a,b),\ f(x_0)<m &\ \Rightarrow \ f(x)_{\min} <m \\
\forall\ x\in(a,b),\ f(x)<m &\ \Rightarrow \ f(x)_{\max} <m \\
\forall\ x\in(a,b),\ f(x)>m &\ \Rightarrow \ f(x)_{\min} >m
\end{align*}
\end{itemize}
\section{函数方程}
\begin{itemize}[leftmargin=\inteval{\myitemleftmargin}pt,itemsep=
\inteval{\myitemitempsep}pt,topsep=\inteval{\myitemtopsep}pt]
\item 常见函数方程:
\begin{align*}
f(x_1+x_2)=&\ f(x_1)+f(x_2) & f(x)=kx \\
f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right) =&\ \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} & f(x)=kx+b \\
f(x_1x_2)=&\ f(x_1)f(x_2) & f(x)=x^{\alpha} \\
f(x_1+x_2)=&\ f(x_1)f(x_2) & f(x)=a^x \\
f(x_1x_2)=&\ f(x_1)+f(x_2) & f(x)=\log_{a}x \\
f(x_1x_2)=&\ x_2f(x_1)+x_1f(x_2) & f(x)=x\log_{a}x \\
f(x_1+x_2)+f(x_1-x_2)=&\ 2\lambda f(x_1)f(x_2) & f(x)=\dfrac{1}{\lambda}\cos x \\
f(x_1+x_2)+f(x_1-x_2)=&\ 2f(x_1)\cos x_2 & f(x)=a\cos x+b\sin x
\end{align*}
\item 考虑$ f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2) $. \\
(1)令$ x_2=0 $,则$ f(x_1)=f(x_1)+f(0) $,所以$ f(0)=0 $. \\
(2)令$ x_2=-x_1 $,则$ f(x_1-x_1)=f(0)=f(x_1)+f(-x_1)=0 $,所以$ f(x) $是奇函数。\\
%(以上两步也适用于$ f(x_1)+f(x_2)=f\left(\dfrac{x_1+x_2}{1+x_1x_2} \right) $,
%$ \ln \dfrac{1-x}{1+x} $和$ \arctan x $满足都是奇函数。)\\
(3)任取正整数$ m,n $,有 $ f(\dfrac{m}{n})=f\Big(\dfrac{m-1}{n}+\dfrac{1}{n}\Big)=
f\Big(\dfrac{m-1}{n}\Big)+f\Big(\dfrac{1}{n}\Big)=
f\Big(\dfrac{m-2}{n}\Big)+2f\Big(\dfrac{1}{n}\Big)=
\cdots =mf\Big(\dfrac{1}{n}\Big)$,当$ m=n $时,$ f(1)=nf\Big(\dfrac{1}{n}\Big) $,
即 $ f\Big(\dfrac{1}{n}\Big)=\dfrac{1}{n}f(1) $,
所以 $f\Big(\dfrac{m}{n}\Big)=\dfrac{m}{n}f(1) $.
如果记$ f(1)=k $,再利用$ f(x) $是奇函数的性质,那么对任意有理数$ q $,都有$ f(q)=kq $. \\
(4)对于$ x $为无理数时的情形,需要附加函数连续性的条件,并使用闭区间套定理进行分析,此处不讨论。
感兴趣的还可搜索“柯西方程的不连续解”。
\item 考虑$ f(x_1+x_2)=f(x_1)f(x_2) $,假设$ f(x) $还满足:对任意$ x\in
\textbf{R} $,都有$ f(x)> 0 $. \\ 令$ x_2=0 $,则$ f(x_1)=f(x_1)f(0) $,所以
$ f(0)=1 $. $ f\Big(\dfrac{m}{n}\Big)=f\Big(\dfrac{m-1}{n}+\dfrac{1}{n}\Big)=
f\Big(\dfrac{m-1}{n}\Big)f\Big(\dfrac{1}{n}\Big)=f\Big(\dfrac{m-2}{n}\Big)f^2
\Big(\dfrac{1}{n}\Big)=\cdots =f^m\Big(\dfrac{1}{n}\Big) $,
当$ m=n $时,$ f(1)=f^n\Big(\dfrac{1}{n}\Big),\ f\Big(\dfrac{1}{n}\Big)
=[f(1)]^{\frac{1}{n}} $.
所以$f\Big(\dfrac{m}{n}\Big)=f^m\Big(\dfrac{1}{n}\Big)=[f(1)]^{\frac{m}{n}} $.
\item 考虑$ f(x_1x_2)=f(x_1)+f(x_2) $,假设$ f(x) $的定义域是$ x> 0 $. \\
令$ x_2=1 $,则$ f(x_1)=f(x_1)+f(1) $,所以$ f(1)=0 $.
令$ x_2=\dfrac{1}{x_1} $,则$ f(1)=f(x_1x_2)=f(x_1)+f(\dfrac{1}{x_1})=0 ,
\ f\Big(\dfrac{1}{x_1}\Big)=-f(x_1) $. 又有
$ f(x^{\frac{m}{n}})=mf(x^{\frac{1}{n}}) $,
当$ m=n $时,$ f(x)=nf(x^{\frac{1}{n}}),\ f(x^{\frac{1}{n}})=\dfrac{1}{n}f(x) $.
所以$ f(x^{\frac{m}{n}})=\dfrac{m}{n}f(x) $.
\item $ f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right) =\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} $
可以推广成$ f\left(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2\right) =\lambda f(x_1)+
(1-\lambda)f(x_2) $,其中$ \lambda \in (0,1) $,此时也有$ f(x)=kx+b $.
\item 如果给以上函数方程中的函数附加上光滑可导的条件,
那还可以利用导数来分析函数的性质,比如把$ f(x_1+x_2)=
f(x_1)+f(x_2) $中的$ x_2 $先看作常数,两边对$ x_1 $求导,
可得$ f'(x_1+x_2)=f'(x_1) $,这说明$ f'(x_1) $是一个与
$ x_1 $无关的常数,即$ f'(x_1) $具有平移不变性,
那么$ f(x) $只能是直线。
%在$ f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right) =
%\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} $中,两边对$ x_1 $求导,$ \dfrac{1}{2}f'\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}
%\right)=\dfrac{1}{2}f'(x_1) $,同样说明$ f'(x_1) $是一个与$ x_1 $无关的常数。
\item 若定义$ f(x)=\ln \dfrac{1-x}{1+x} $,则$ f(x_1)+f(x_2)=f\left(\dfrac{x_1+x_2}{1+x_1x_2} \right) $.
$ \ln \dfrac{1+x}{1-x},\ln \dfrac{x+1}{x-1},\ln \dfrac{x-1}{x+1}$有类似性质。另外,反正切函数也有相似形式:$ \arctan x_1+\arctan x_2=\arctan\dfrac{x_1+x_2}{1-x_1x_2} $.
\item 满足$ f(x_1+x_2)= f(x_1)+f(x_2)+2\lambda x_1x_2 $的函数是$ f(x)=\lambda x^2+\mu x $. \\
\textbf{分析}\ 首先令$ x_2=0 $,可得$ f(x_1+0)=f(x_1)+f(0)+0 $,所以$ f(0)=0 $.
(令$ x_1=x_2=0 $也可得到$ f(0)=0 $),考虑正整数情形,
\begin{align*}
f(2)=&\ 2f(1)+2\lambda \\
f(3)=&\ f(2)+f(1)+4\lambda=3f(1)+6 \lambda \\
f(4)=&\ f(3)+f(1)+6\lambda=4f(1)+12\lambda \\
\vdots&\
\end{align*}
用归纳法容易证明,$ f(n)=f(n-1)+f(1)+2\lambda (n-1)=nf(1)+\lambda n(n-1)=
\lambda n^2+[f(1)-\lambda]n $. 剩余步骤省略,此时已经可以大胆猜测
$ f(x)=\lambda x^2+\mu x $.
%\item $^*$ 在数论中,满足性质$ f(x_1x_2)=f(x_1)+f(x_2) $的函数被称为“加性函数”;
%满足性质$ f(x_1x_2)=f(x_1)f(x_2) $的函数被称为“积性函数”。
%%\\
%\item 若$ A,B $代表某种试验中可能发生的两件事,而且$ A $和$ B $相互独立
%(一件事是否发生对另一件事没有影响),那么$ A,B $同时发生的概率等于两者各自发生
%的概率之积(具有积性),
%即$ P(AB)=P(A)P(B) $,有些书上也写成$ P(A\cap B)=P(A)P(B) $.
%\newpage
\end{itemize}
\section{函数迭代}
\begin{itemize}[leftmargin=\inteval{\myitemleftmargin}pt,itemsep=
\inteval{\myitemitempsep}pt,topsep=\inteval{\myitemtopsep}pt]
\item 同一个函数$ f(x) $不断地复合,
$ f(f(x)),f(f(f(x))) \cdots $称为函数的迭代。
记$ f_0(x)=x,\ f_1(x)=f(x),\ f_{n+1}(x)=f(f_n(x)) $.
则$ f_n(x) $称为函数$ f(x) $的$ n $次迭代。一些函数迭代如表\ref{函数迭代列表}
\footnote{张伟年. 动力系统基础[M]. 高等教育出版社,施普林格出版社, 2001.}:
\begin{table}[h]
\centering
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\caption{}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$ f(x) $ & $ f_n(x) $ \\
\hline
$ x+2\sqrt{x}+1 $ & $ (\sqrt{x}+n)^2 $ \\
\hline
$ \dfrac{x}{a+bx} $ & $ \dfrac{x}{a^n+\dfrac{1-a^n}{1-a}bx} $ \\
\hline
$ \sqrt[k]{ax^k+b} $ & $ \sqrt[k]{a^nx^k+\dfrac{1-a^n}{1-a}b} $ \\
\hline
$ x^2+2x $ & $ (x+1)^{2^n}-1 $ \\
\hline
$ \dfrac{x^2}{2x-1} $ & $\dfrac{x^{2^n}}{x^{2^n}-(x-1)^{2^n}}$ \\
\hline
$ \dfrac{x}{\sqrt[k]{1+ax^k}} $ & $ \dfrac{x}{\sqrt[k]{1+nax^k}} $ \\
\hline
$ \dfrac{x}{1+2a\sqrt{x}+a^2x} $ & $ \dfrac{x}{(1+na\sqrt{x})^2} $ \\
\hline
$ 2x\sqrt{1-x^2} $ & $ \sin(2^n\cdot \arcsin x) $ \\
\hline
$ 2x^2-1 $ & $ \cos(2^n\cdot \arccos x) $ \\
\hline
$ \dfrac{2x}{1-x^2} $ & $ \tan(2^n\cdot \arctan x) $ \\
\hline
\end{tabular}
%\vspace{-3mm}
\label{函数迭代列表}
\end{table}
表中最后3个函数只需看成三角函数的二倍角公式,即$ 2\sin \theta\cos \theta $,
$ 2\cos^2 \theta-1 $,$ \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} $.
表中的结果用数学归纳法是容易证明的。
\item 函数的迭代也可看成数列的递推,有些数列是周期数列,
有些函数迭代也会有周期。如果存在自然数$ T $,
满足$ f_{n+T}(x)=f_n(x) $,则$ T $称为$ f(x) $
的迭代周期,$ f_{n+T}(x)=f_n(x) $等价于$ f_T(x)=f_0(x)=x $.
比如$ f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{x^3-1}{x^3+1}} $的迭代周期是4.
$ f(x)=\dfrac{(\cos \dfrac{2\pi}{n})x-\sin \dfrac{2\pi}{n}}
{(\sin\dfrac{2\pi}{n})x+\cos \dfrac{2\pi}{n}} $的迭代周期是$ n $.
\end{itemize}
\section{多项式}
\begin{itemize}[leftmargin=\inteval{\myitemleftmargin}pt,itemsep=
\inteval{\myitemitempsep}pt,topsep=\inteval{\myitemtopsep}pt]
\item 三次函数$ y=ax^3+bx^2+cx+d $也是一种三次曲线,
通过平移变换$ x=t-\dfrac{b}{3a} $,可以消去三次函数的二次项,
如果再做上下平移消去常数项,就可得到一个奇函数(关于原点中心对称),说明任意三次函数的图像都是中心对称图形,对称中心坐标为 $ (-\dfrac{b}{3a},f(-\dfrac{b}{3a})) $.
\item 三次方程韦达定理:$ x^3+\dfrac{b}{a}x^2+\dfrac{c}{a}x+
\dfrac{d}{a}=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,则
\begin{align}\label{三次方程韦达定理}
x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a},\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{c}{a},\ x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}
\end{align}
可以从量纲的角度来进行理解和记忆,假设$ x $代表长度,那么$ x^3 $就代表体积,
因为只有单位相同的物理量才能相加减,所以$ \dfrac{b}{a} $代表长度,$ \dfrac{c}{a} $代表面积,
$ \dfrac{d}{a} $代表体积。而$ x_1+x_2+x_3 $代表长度,$ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 $代表面积,
$ x_1x_2x_3 $代表体积。单位相同的物理量才能相等。
请读者思考一般的$ n $次方程的韦达定理。
\item 三次不等式的解集。假设$ x_1<x_2<x_3 $,那么$ f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
<0 $的解集为$ (-\infty,x_1)\cup (x_2,x_3) $;$ f(x)>0 $的解集为$ (x_1,x_2)\cup
(x_3,+\infty) $.
\item 由(\ref{三次方程韦达定理})式可得:
\begin{align*}
&\ x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2+x_2^2x_3^2 \\
=&\ (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^2- 2x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)\\
=&\ \dfrac{c^2-2bd}{a^2} \\
&\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 \\
=&\ (x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) \\
=&\ \dfrac{b^2-2ac}{a^2} \\
&\ (x_1-x_2)^2+(x_1-x_3)^2+(x_2-x_3)^2 \\
=&\ 2[x_1^2+x_2^2+x_3^2-(x_1x_2+x_1x_3 +x_2x_3)]\\
=&\ 2[(x_1+x_2+x_3)^2-3(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)] \\
=&\ \dfrac{2(b^2-3ac)}{a^2}
\end{align*}
以上等式说明,如果$ x_1,x_2,x_3 $均为实数,那么必有$ c^2-2bd\geq 0,\ b^2-2ac \geq 0,\
b^2-3ac \geq 0 $. \\
%令$ s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+ x_n^k(k\geq 1);s_0=n.$
%\begin{align*}
% &\sigma_1=x_1+x_2+\cdots+x_n \\
% &\sigma_2=x_1x_2+x_1x_3\cdots+x_{n-1}x_n=\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j \\
% &\cdots \\
% &\sigma_n=x_1x_2\cdots x_n
%\end{align*}
%
%牛顿公式:
%\begin{align*}
% k< n ,\ &s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\cdots
%+(-1)^{k-1}s_1\sigma_{k-1}+(-1)^kk\sigma_k=0 \\
% k\geq n ,\ &s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\cdots+(-1)^ns_{k-n}\sigma_n=0
%\end{align*}
\item 常用因式分解:
\begin{align*}
& a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \\
& a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \\
& a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2) \\
& a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\
=&\ (a+b+c)\cdot \dfrac{1}{2}\left[(a^2+b^2-2ab)
+(b^2+c^2-2bc)+(c^2+a^2-2ca) \right]
\end{align*}
\item 如果$ a,b,c $均为非负数,那么$ a^3+b^3+c^3 \geq 3abc $,把$ a,b,c $分别换成
$ \sqrt[3]{a},\sqrt[3]{b},\sqrt[3]{c} $,有$ a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc}$.
\item 因式分解练习:
\begin{align*}
& 2x^3+3x^2-1=(2x^3+2x^2)+(x^2-1)=2x^2(x+1)+(x-1)(x+1)=(2x-1)(x+1)^2 \\
& 2x^3-3x^2+1=(2x^3-2x^2)-(x^2-1)=2x^2(x-1)-(x-1)(x+1)=(2x+1)(x-1)^2 \\
& x^3-2x+1=x(x^2-1)-(x-1)=(x^2+x-1)(x-1) \\
& x^3-2x-1=x(x^2-1)-(x+1)=(x^2-x-1)(x+1) \\
& x^3+2x^2-2x-1=(x-1)(x^2+3x+1)
%&a^3-2a^2-5a+6=(a-1)(a+2)(a-3)\\
%&2a^3-a^2-5a-2=(a+1)(2a+1)(a-2)\\
%&3a^4-4a^3-57a^2-14a+120=(a+2)(a+3)(3a-4)(a-5)\\
%&5a^3+7a^2b-15a^2+2ab^2-21ab-6b^2=(a+b)(5a+2b)(a-3)\\
%&2a^4-7a^3b+a^2b^2+7ab^3-3b^4=(a+b)(a-b)(a-3b)(2a-b)\\
%&18a^4+39a^3b+23a^2b^2+ab^3-b^4=(a+b)^2(6a-b)(3a+b)
\end{align*}
\end{itemize}
\section{凹凸性}
\begin{itemize}[leftmargin=\inteval{\myitemleftmargin}pt,itemsep=
\inteval{\myitemitempsep}pt,topsep=\inteval{\myitemtopsep}pt]
\item 函数的凹凸性是指$ \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} $与
$ f(\dfrac{x_1+x_2}{2}) $的相对大小,本小节均默认$ x_1 \neq x_2 $.
更一般地,是比较$ \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) $
与$ f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2) $的大小,其中$ \lambda \in (0,1) $.
函数的凹凸性直接由二阶导数的正负决定。因为不同的书上对凹函数与凸函数的定义
已经完全混乱,所以本书也不具体定义什么是凹、什么是凸,统称为凹凸性。
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\linewidth]{函数凹凸性主图}
\end{figure}
\noindent \textbf{三角函数} \\
当$ x_1,x_2\in (0,\pi) $时,
\begin{align*}
\dfrac{1}{2} \left(\sin x_1 + \sin x_2 \right) =&\
\dfrac{1}{2} \left[ \sin \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}+\dfrac{x_1-x_2}{2}\right) +
\sin \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}-\dfrac{x_1-x_2}{2}\right) \right] \\
=&\ \sin \dfrac{x_1+x_2}{2} \cos \dfrac{x_1-x_2}{2}
< \sin \dfrac{x_1+x_2}{2}
\end{align*}
当$ x_1,x_2\in (0,\dfrac{\pi}{2}) $时,
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}\left(\tan x_1+\tan x_2\right)-\tan\dfrac{x_1+x_2}{2}
=&\ \dfrac{\sin\dfrac{x_1+x_2}{2}\left(\cos^2\dfrac{x_1+x_2}{2}
-\cos x_1\cos x_2 \right)}{\cos x_1\cos x_2 \cos\dfrac{x_1+x_2}{2}}\\
=&\ \dfrac{\sin\dfrac{x_1+x_2}{2}\left[1-\cos(x_1-x_2) \right]}
{2\cos x_1\cos x_2 \cos\dfrac{x_1+x_2}{2}} >0
\end{align*}
\\
\textbf{指数函数和对数函数} \\
\begin{align*}
\dfrac{\e^{x_1}+\e^{x_2}}{2}>\sqrt{\e^{x_1}·\e^{x_2}}=\e^{\frac{x_1+x_2}{2}}
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{\ln x_1+\ln x_2}{2}=\ln \sqrt{x_1 x_2}<\ln\dfrac{x_1+x_2}{2}
\end{align*}
$ \e^x $与$ \ln x $互为反函数,两者的图像关于直线$ y=x $对称,请结合图像思考上面两个不等式的含义。\\
\\
\textbf{幂函数} \\
若$ \alpha $为实数,$ 0<x_1<x_2 $,
\begin{align*}
\dfrac{x_1^{\alpha}+x_2^{\alpha}}{2}-\left( \dfrac{x_1+x_2}{2}\right)^{\alpha} =&\
x_1^{\alpha}\left[\frac{1+\left( \frac{x_2}{x_1}\right)^{\alpha} }{2}-
\left(\frac{1+\frac{x_2}{x_1}}{2} \right)^{\alpha} \right] \\
=&\ x_1^{\alpha}\left[ \dfrac{1+t^{\alpha}}{2}-\left(\dfrac{1+t}{2}
\right)^{\alpha} \right] =x_1^{\alpha}f(t)
\end{align*}
其中,$ t=\dfrac{x_2}{x_1}>1 $,
\begin{align*}
f'(t)=\dfrac{\alpha}{2}\left[ t^{\alpha-1}-
\left( \dfrac{1+t}{2}\right)^{\alpha-1}\right]
\end{align*}
$ f(1)=0,f'(1)=0 $,当$ t>1 $时,若$ \alpha>1 $或$ \alpha<0 $,
则$ f'(t)>0 $,$ f(t)>f(1)=0 $.
若$ 0<\alpha<1 $,则$ f(t)<0 $.
例如,$ \dfrac{x_1^2+x_2^2}{2}>\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)^2,\ \dfrac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}{2}<\sqrt{\dfrac{x_1+x_2}{2}} $.
\item 若$ \alpha $为大于1的正整数(记为$ n $),还可用其它方法证明
\begin{gather}\label{幂函数凹凸性不等式}
\dfrac{x_1^n+x_2^n}{2}>\left( \dfrac{x_1+x_2}{2}\right)^n
\end{gather}
\textbf{方法一}\ 二项式定理。设$ 0<k<n $,则$ (x_2^k-x_1^k)(x_2^{n-k}-x_1^{n-k})=x_2^n+x_1^n-x_2^kx_1^{n-k}-x_1^kx_2^{n-k}>0 $,故
$ x_2^n+x_1^n > x_2^kx_1^{n-k}+x_1^kx_2^{n-k} $,于是:
\begin{align*}
2^n(x_1^n+x_2^n)-& 2(x_1+x_2)^n \\
=2^n(x_1^n+x_2^n)-&\bigl[C_n^0(x_1^n+x_2^n)+C_n^1(x_1^{n-1}x_2+x_2^{n-1}x_1)+\cdots\\
+ &\ C_n^{n-1}(x_1x_2^{n-1}+x_2x_1^{n-1})+C_n^n(x_2^n+x_1^n) \bigr] \\
>2^n(x_1^n+x_2^n)-&\bigl[C_n^0(x_1^n+x_2^n)+C_n^1(x_1^n+x_2^n)
+\cdots \\+ &C_n^{n-1}(x_1^n+x_2^n)+C_n^n(x_2^n+x_1^n) \bigr] \\
=2^n(x_1^n+x_2^n)-&(C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^{n-1}+C_n^n)(x_1^n+x_2^n) = 0
\end{align*}
\textbf{方法二}\ 数学归纳法。因为 $ (x_1^n-x_2^n)(x_1-x_2)>0 $,所以
$ x_1^nx_2+x_1x_2^n<x_1^{n+1}+x_2^{n+1} $,于是
\begin{align*}
\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} \right)^{n+1} =
\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} \right)^{n}\cdot \dfrac{x_1+x_2}{2}
<\dfrac{x_1^n+x_2^n}{2}\cdot
\dfrac{x_1+x_2}{2} <\dfrac{x_1^{n+1}+x_2^{n+1}}{2}
\end{align*}
\end{itemize}
\section{例题}
\begin{enumerate}[label={【\textbf{例\thechapter.\arabic*}】},
leftmargin=\inteval{\myenumleftmargin}pt,
itemsep=\inteval{\myenumitempsep}pt,
itemindent=\inteval{\myenumitemindent}pt]
\item Dirichlet(狄利克雷)函数:$ D(x)=\left\{
\begin{aligned}
1,\ x\text{为有理数} \\
0,\ x\text{为无理数} \\
\end{aligned} \right. $. \\
它是偶函数,值域为$ \{0,1\} $,无法绘制函数图像,任何正有理数都是它的周期,但无最小正周期。2012年福建高考理科数学选择题第7题考了此函数。
\item 设$ f(x)=x^2+bx+c $,求证:$ |f(1)|,|f(2)|,|f(3)| $中至少有一个不小于
$ \dfrac{1}{2} $. \\
\textbf{证}\ 用反证法,假设$ |f(1)|,|f(2)|,|f(3)| $均小于$ \dfrac{1}{2} $,
$ f(1)=1+b+c, f(2)=4+2b+c, f(3)=9+3b+c $,于是有$ f(1)+f(3)-2f(2)=2 $,那么
$ 2=|f(1)+f(3)-2f(2)|\leq |f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+2\cdot \dfrac{1}{2}=2 $
这就产生了矛盾,所以假设不成立。
为什么$ f(1)+f(3)-2f(2) $恰好等于2呢?实际上是用待定系数法确定的系数,
$ \lambda_1 f(1)+\lambda_2 f(2)+\lambda_3 f(3)=\lambda_1 (1+b+c)+
\lambda_2 (4+2b+c)+\lambda_3 (9+3b+c)=(\lambda_1+4\lambda_2+9\lambda_3)+
(\lambda_1+2 \lambda_2+ 3\lambda_3)b+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)c $,
为使该式不包含$ b,c $,
那么$ \lambda_1+2 \lambda_2+ 3\lambda_3=0, \ \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0 $,
解得$ \lambda_2=-2 \lambda_1,\ \lambda_3=\lambda_1 $.
于是$ \lambda_1+4\lambda_2+9\lambda_3=2\lambda_1.\ \lambda_1$可取任意非零值。
\item (2022,浙江高考)已知$a,b\in\mathbf{R}$,若对任意$x\in\mathbf{R} $,
$ a|x-b|+|x-4|-|2x-5|\geq 0$,则(\q ) \\
A.$a\leq 1,b\geq 3$\qquad B.$a\leq 1,b\leq 3$ \qquad
C.$a\geq 1,b\geq 3$\qquad D.$a\geq 1,b\leq 3$ \\
\textbf{解}\ 选D. 令$x\to+\infty $,
\begin{gather*}
ax-ab+x-4-2x+5\geq 0 \\
(a-1)x\geq ab-1\ (\text{常数}) \\
a\geq 1
\end{gather*}
令$ x=b $,
\begin{gather*}
|b-4| \geq |2b-5| \\
(b-4)^{2}-(2b-5)^{2}\geq 0 \\
-3(b-3)(b-1)\geq 0 \\
1 \leq b\leq 3
\end{gather*}
\item 定义在\textbf{R}上的奇函数$ f(x) $满足$ f(x)=f(a-x) $,其中$ a \neq 0 $,求$ f(x)
$的周期。\\
\textbf{解}\ $ f(x)=f(a-x)=-f(x-a)=-f(a-(x-a))=-f(2a-x)=f(x-2a) $,
所以$ f(x) $的周期为$ 2a $. 另外,
$ f(x+\dfrac{a}{2})=f(a-(x+\dfrac{a}{2}))=f(\dfrac{a}{2}-x) $,
说明$ x=\dfrac{a}{2} $是$ f(x) $的一条对称轴。\\
\textbf{推广1}:如果$ f(x) $满足$ f(x+a)=f(b-x) $,用$ x-a $换其中的$ x $,则有$ f(x)=f(a+b-x) $,
那么$ x=\dfrac{a+b}{2} $是$ f(x) $的一条对称轴。\\
\textbf{推广2}:如果$ f(x) $同时具有对称轴和对称中心,且对称轴和对称中心的横坐标不相同,
那么$ f(x) $是周期函数。\\
\textbf{证}\ 设$ f(x) $的对称轴是$ x=a $,对称中心是$ (b,c) $,
且$ a\neq b $,那么
\begin{gather}
f(a-x)=f(a+x) \label{fx对称轴} \\
f(b-x)+f(b+x)=2c \label{fx对称中心}
\end{gather}
把(\ref{fx对称轴})式中的$ x $换成$ b-x $,(\ref{fx对称中心})式中的$ x $
换成$ a-x $,有
\begin{gather*}
f(a-b+x)=f(a+b-x) \\
f(b-a+x)+f(b+a-x)=2c \
\end{gather*}
由以上两式消去$ f(a+b-x) $可得:
\begin{align*}
f(b-a+x)+f(a-b+x)=&\ 2c \\
f(x)+f(2a-2b+x) =&\ 2c \quad (\text{上式中的$ x $换成$ x+a-b $})\\
f(2a-2b+x)+f(4a-4b+x)=&\ 2c \quad(\text{上式中的$ x $换成$ x+2a-2b $})
\end{align*}
于是$ f(x)=f(4a-4b+x) $,$ f(x) $的周期是$ 4|a-b| $.
\item 若$ f(x) $满足$ f(x)=\pm\dfrac{1}{f(x+a)} $,那么$ f(x+2a)=\pm
\dfrac{1}{f(x+a)}=f(x) $,$ 2a $是$ f(x) $的一个周期。
\item $ f(x)=x\left( \dfrac{1}{\e^x-1}+\dfrac{1}{2}\right),
\ g(x)=\dfrac{\e^x}{\e^x+1}-\dfrac{1}{2} $,
证明:$ f(x) $为偶函数,$ g(x) $为奇函数。\\
\textbf{证}\
\begin{gather*}
f(x)=\dfrac{x(\e^x+1)}{2(\e^x-1)}=\dfrac{x(1+\e^{-x})}{2(1-\e^{-x})}
=\dfrac{(-x)(\e^{-x}+1)}{2(\e^{-x}-1)}=f(-x) \\
g(x)=\dfrac{\e^x-1}{2(\e^x+1)}=\dfrac{1-\e^{-x}}{2(1+\e^{-x})}=-g(-x)
\end{gather*}
如果把$ \e^x $换成$ a^x $,并不会影响$ f(x),g(x) $的奇偶性。\\
\textbf{注}$ ^* $ $ \dfrac{x}{\e^x-1} $为伯努利数$ B_n $的生成函数,
\begin{gather*}
\dfrac{x}{\e^x-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n\dfrac{x^n}{n!}
\end{gather*}
可参看《 特殊函数概论》\footnote{
王竹溪,郭敦仁. 特殊函数概论[M].北京大学出版社, 2012.7,第1页。}。
$ g(x)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\e^x}{\e^x+1}\in (0,1) $被称为Sigmoid函数,
$ \dfrac{\e^x}{\e^x+1},\ \dfrac{x\e^x}{\e^x+1},\ \ln\left(\dfrac{\e^x}{\e^x+1}\right),
\\ \tanh(x)=\dfrac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}},\ \dfrac{x}{1+|x|},\
\ln(\e^x+1) $都是人工神经网络中常用的函数,图像如下。
\begin{figure}[!htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.95\linewidth]{人工智能函数}
\end{figure} \\
%\newpage
\item (2022,新高考II卷)若函数$f(x)$的定义域为
$\mathbf{R}$.且$f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),\ f(1)=1$,
求$\sum\limits_{k=1}^{22}f(k)$.\\
\textbf{解}\ 令$ x=1,\ y=0 $,有$ f(1)+f(1)=f(1)f(0) $,故$ f(0)=2 $. \\
令$ x=1,\ y=1 $,有$ f(2)+f(0)=f(1)f(1) $,故$ f(2)=-1 $. \\
令$ x=n,\ y=1 $,有$ f(n+1)+f(n-1)=f(n) $,即
\begin{gather}\label{2022II递推数列周期6}
f(n+1)=f(n)-f(n-1)
\end{gather}
于是,$ f(3)=-2,\ f(4)=-1,\ f(5)=1,\ f(6)=2 $. \\
把(\ref{2022II递推数列周期6})式中的$ n $换成$ n+1 $,有
\begin{gather*}
f(n+2)=f(n+1)-f(n)=f(n+1)-[f(n+1)+f(n-1)]=-f(n-1)
\end{gather*}
再把$ n $换成$ n+1 $,有$ f(n+3)=-f(n) $,把$ n $换成$ n+3 $,有
\begin{gather*}
f(n+6)=-f(n+3)=f(n)
\end{gather*}
所以,数列$ f(n) $的周期是6. 又因为$ \sum\limits_{k=1}^{6}f(k)=0 $,
所以
\begin{gather*}
\sum\limits_{k=1}^{22}f(k)=f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3
\end{gather*}
\textbf{注}\ 递推关系(\ref{2022II递推数列周期6})对应的特征方程为$ x^2=x-1 $,
特征根为$ x_{1,2}=\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\i=
\cos\dfrac{\pi}{3}\pm \i\sin\dfrac{\pi}{3} $,
周期$ T=\dfrac{2\pi}{\pi/3}=6 $.
设$ f(n)=A\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}+\varphi\right) $,
则$ f(0)=A\cos\varphi=2 $,
\begin{gather*}
f(1)=A\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\varphi\right)=
\dfrac{1}{2}A\cos\varphi+\dfrac{\sqrt{3}}{2}A\sin\varphi=1
\end{gather*}
所以,$ \sin\varphi=0 $,不妨取$ \varphi=0 $,那么$ A=2 $,
$ f(n) $的通项公式为$ 2\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right) $.
此题的背景是:
\begin{gather*}
\dfrac{1}{\lambda}\cos(x+y)+\dfrac{1}{\lambda}\cos(x-y)=
\dfrac{2}{\lambda}\cos x\cos y=
2\lambda\left(\dfrac{1}{\lambda}\cos x\right)
\left(\dfrac{1}{\lambda}\cos y\right)
\end{gather*}
即$ \dfrac{1}{\lambda}\cos x $满足函数方程$ f(x+y)+f(x-y)=2\lambda f(x)f(y) $.
\item \label{分式线性变换保交比例题}
给定4个实数$ x_1,x_2,x_3,x_4 $,其中任意两个都不相等,设
$ y_i=\dfrac{ax_i+b}{cx_i+d} $,$ (ad-bc\neq 0,\ i=1,2,3,4) $,求证:
\begin{gather}\label{分式线性变换保交比}
\dfrac{(y_1-y_3)(y_2-y_4)}{(y_1-y_4)(y_2-y_3)}=
\dfrac{(x_1-x_3)(x_2-x_4)}{(x_1-x_4)(x_2-x_3)}
\end{gather}
\textbf{证}\ 设$ i\neq j,\ (i,j=1,2,3,4) $,有
\begin{gather*}
y_i-y_j=\dfrac{ax_i+b}{cx_i+d}-\dfrac{ax_j+b}{cx_j+d}=
\dfrac{(ad-bc)(x_i-x_j)}{(cx_i+d)(cx_j+d)}
\end{gather*}
\begin{align*}
\dfrac{(y_1-y_3)(y_2-y_4)}{(y_1-y_4)(y_2-y_3)} &=
\dfrac{\dfrac{(ad-bc)(x_1-x_3)}{(cx_1+d)(cx_3+d)}\cdot
\dfrac{(ad-bc)(x_2-x_4)}{(cx_2+d)(cx_4+d)}}{
\dfrac{(ad-bc)(x_1-x_4)}{(cx_1+d)(cx_4+d)}\cdot
\dfrac{(ad-bc)(x_2-x_3)}{(cx_2+d)(cx_3+d)} } \\
&=\dfrac{(x_1-x_3)(x_2-x_4)}{(x_1-x_4)(x_2-x_3)}
\end{align*}
\item 设$ f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d},\ (ad-bc\neq 0) $,若对任意实数
$ x\ (cx+d\neq 0) $,都有$ f(f(x))=x $,求$ a,b,c,d $应满足的条件。\\
\textbf{解}\
\begin{gather*}
f(f(x))=\dfrac{a\cdot\dfrac{ax+b}{cx+d}+b}{c\cdot
\dfrac{ax+b}{cx+d}+d}=
\dfrac{(a^2+bc)x+(a+d)b}{(a+d)cx+bc+d^2}=
\dfrac{x+\dfrac{(a+d)b}{a^2+bc}}{\dfrac{(a+d)c}{a^2+bc}
\cdot x+ \dfrac{bc+d^2}{a^2+bc}}=x
\end{gather*}
所以,
\begin{align*}
\left\{
\begin{aligned}
(a+d)b=0\q & \mycircled{1} \\
(a+d)c=0\q & \mycircled{2} \\
\dfrac{bc+d^2}{a^2+bc}=1\q & \mycircled{3} \\
ad-bc\neq 0\q & \mycircled{4}
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
由\mycircled{3}得:$ a^2=d^2 $. \\
(1) 若$ a=d=0,\ bc\neq 0 $,则$ f(x)=\dfrac{b}{cx} $;\\
(2) 若$ a=d\neq 0 $,由\mycircled{1}、\mycircled{2}可得
$ b=c=0 $,则$ f(x)=x $;\\
(3) 若$ a=-d\neq 0,\ -a^2-bc\neq 0 $,则$ f(x)=\dfrac{ax+b}{cx-a} $.
\item 求$ f(x)=\dfrac{(x+2)(x+3)}{x+1} $和$ g(x)=\dfrac{x+1}{(x+2)(x+3)} $的值域。\\
\textbf{方法一}\ 换元,令$ t=x+1\neq 0 $,则$ f(x)=f(t-1)=\dfrac{(t+1)(t+2)}{t}=t+
\dfrac{2}{t}+3\in (-\infty,3-2\sqrt{2}]\cup [3+2\sqrt{2},+\infty) $.
$ g(x)=\dfrac{1}{f(x)}\in (-\infty,3-2\sqrt{2}]\cup [3+2\sqrt{2},+\infty) $. \\
\textbf{方法二}\ 判别式法,两者判别式一样,均为$ \Delta=y^2-6y+1\geq 0,\ y
\in (-\infty,3-2\sqrt{2}]\cup [3+2\sqrt{2},+\infty) $ .
\item 已知$ a $是实数,函数$ f(x)=ax^2+2x-6-4a $,如果$ f(x) $在区间
$ [0,4] $上有零点,求$ a $的取值范围。 \\
\textbf{方法一}\
\mycircled{1} 先考虑$ f(x) $在区间$ [0,4] $上有且仅有一个零点,此时$ f(0)\cdot
f(4)\leq 0 $,(无需区分是一次函数还是二次函数),解得
\begin{gather} \label{根的分布-解集1}
a\leq -\dfrac{3}{2},\ a\geq -\dfrac{1}{6}
\end{gather}
\mycircled{2} 再考虑$ f(x) $在区间$ [0,4] $上有两个零点,此时必有
$ a\neq 0,\ \Delta=4+4a(6+4a)\geq 0 $,解得
\begin{gather} \label{根的分布-解集2}
a\leq\dfrac{-3-\sqrt{5}}{4}\approx -1.3090,\ a\geq\dfrac{-3+\sqrt{5}}{4}
\approx -0.1910,\ a\neq 0
\end{gather}
若$ a>0 $,则$ f(0)=-6-4a<0 $,$ f(x) $在区间$ [0,4] $上不可能有两个零点。\\
若$ a<0 $,则需满足 $ f(0)\leq 0, f(4)\leq 0, 0\leq -\dfrac{2}{2a} \leq 4 $,
解得
\begin{gather} \label{根的分布-解集3}
-\dfrac{3}{2} \leq a \leq -\dfrac{1}{4}
\end{gather}
(\ref{根的分布-解集2})式和(\ref{根的分布-解集3})式求交集,然后和
(\ref{根的分布-解集1})式求并集,可得$ a $的范围是:
$ \Big(-\infty,\dfrac{-3-\sqrt{5}}{4}\Big]\cup
\Big[-\dfrac{1}{6},+\infty \Big) $.
\\
\textbf{方法二}\ 分离参数,$ a=\dfrac{6-2x}{x^2-4} $,问题转化成求函数
$ y=\dfrac{6-2x}{x^2-4} $在$ [0,4] $上的值域,可以直接求导,也可作代换
$ t=3-x\in[-1,3] $,则$ \dfrac{6-2x}{x^2-4}=\dfrac{2t}{(3-t)^2-4}=
\dfrac{2t}{t^2-6t+5}=\dfrac{2}{t-6+\dfrac{5}{t}} \in
\Big(-\infty,\dfrac{-3-\sqrt{5}}{4}\Big]\cup
\Big[-\dfrac{1}{6},+\infty \Big) $. \\
\textbf{说明}\ $ y=\dfrac{6-2x}{x^2-4} $可变形为$ y(x^2-4)+2x-6=0 $,
属于三次曲线,它有两条垂直渐近线($ x=\pm 2 $)和一条水平渐近线($ x $轴),其图像如下:
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.55\linewidth]{三次曲线-分子零点在右侧}
\end{figure} \\
若要手工粗略绘制此函数的图像,遵循以下步骤:先绘制两条垂直渐近线,再根据
三次函数$y=(x+2)(x-2)(3-x) $的正负,确定$ y=\dfrac{2(3-x)}{x^2-4} $在区间
$ (-\infty,-2),(-2,2),(2,3),\\ (3,+\infty) $上的正负。当$ |x|\to +\infty $时,
$ \dfrac{2(3-x)}{x^2-4}\approx -\dfrac{2}{x} $,所以要让曲线逐渐靠近$ x $轴
(体现水平渐近线的作用)。
对于$ y=\dfrac{2(3\pm x)}{x^2-4} $,
它们的分子的零点在分母两个零点所形成的区间的外部,
存在两个极值点。而对于$ y=\dfrac{x-1}{x^2-4} $,它的分子的零点在分母两个零点之间,
不存在极值点,在两条垂直渐近线所划分的三个区间中都是单调递减的,当$ |x|\to +\infty $
时,$ \dfrac{x-1}{x^2-4}\approx \dfrac{1}{x} $,其图像如下:
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.45\linewidth]{三次曲线-分子零点在中间}
\end{figure} \\
再展示几种三次曲线的图像如下:
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.84\linewidth]{三次曲线-附加三幅图}
\end{figure} \\
\item 已知$ f(x)=x^2+\dfrac{a}{x} $,其中$ a>0 $,若$ f(x) $在
$ [2,+\infty) $上单调递增,求$ a $的取值范围。 \\
\textbf{方法一}\ 任取$ x_1,x_2 $,满足$ 2\leq x_1<x_2 $,那么$ f(x_1)<f(x_2) $,
\begin{align*}
x_1^2+\dfrac{a}{x_1}-x_2^2-\dfrac{a}{x_2}
=(x_1-x_2)\left(x_1+x_2-\dfrac{a}{x_1x_2} \right) <0
\end{align*}
所以$ x_1+x_2-\dfrac{a}{x_1x_2}>0,\ a<x_1x_2(x_1+x_2) $. 又因为
$ x_1x_2(x_1+x_2)>2\cdot 2 \cdot(2+2)=16 $,所以$ 0<a\leq 16 $. \\
\textbf{方法二}\ 求导:$ f'(x)=2x-\dfrac{a}{x^2},f'\left(\sqrt[3]{
\dfrac{a}{2}} \right)=0,\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}}\leq 2,a\leq 16 $. \\
\textbf{方法三}\ 用三变量均值不等式:$ f(x)=x^2+\dfrac{a}{2x}+\dfrac{a}{2x}
\geq 3\sqrt[3]{x^2\cdot\dfrac{a}{2x}\cdot\dfrac{a}{2x}}=
3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{4}} $. 当$ x^2=\dfrac{a}{2x} $时,等号成立,
剩余步骤同方法二。 \\
\textbf{说明}\ $ y=x^2+\dfrac{a}{x}\ (a\neq 0) $可变形为$ x^3-xy+a=0 $,
属于三次曲线,它有两条渐近线,一条是$ y=x^2 $,另一条是$ x=0 $.
取$ a=4 $,则$ y=x^2+\dfrac{4}{x} $的图像如下:\\
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{三次曲线x2y-xy+4}
\end{figure}
\item 已知$ f(x)=x+\dfrac{a}{x^2} $,其中$ a>0 $,若$ f(x) $在
$ [2,+\infty) $上单调递增,求$ a $的取值范围。 \\
\textbf{方法一}\ 任取$ x_1,x_2 $,满足$ 2\leq x_1<x_2 $,那么$ f(x_1)<f(x_2) $,
\begin{align*}
x_1+\dfrac{a}{x_1^2}-x_2-\dfrac{a}{x_2^2}
=(x_1-x_2)\left[1-\dfrac{a(x_1+x_2)}{x_1^2x_2^2} \right] <0
\end{align*}
所以$ 1-\dfrac{a(x_1+x_2)}{x_1^2x_2^2}>0,\ a<\dfrac{x_1^2x_2^2}{x_1+x_2}=
\dfrac{1}{\dfrac{1}{x_1x_2}\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)} $,
又因为$ \dfrac{1}{x_1x_2}\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right) $随
$ x_1 $和$ x_2 $都是单调递减的,所以$ \dfrac{x_1^2x_2^2}{x_1+x_2} $随
$ x_1 $和$ x_2 $都是单调递增的,$ \dfrac{x_1^2x_2^2}{x_1+x_2}>
\dfrac{2^2\cdot 2^2}{2+2}=4 $. 于是,$ 0<a\leq 4 $. \\
\textbf{方法二}\ 求导:$ f'(x)=1-\dfrac{2a}{x^3},f'\left(\sqrt[3]{
2a} \right)=0,\sqrt[3]{2a}\leq 2,\ 0<a\leq 4 $. \smallskip \\
\textbf{方法三}\ 用三变量均值不等式:$ f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{a}{x^2}
\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{a}{x^2}}=
3\sqrt[3]{\dfrac{a}{4}} $. 当$ \dfrac{x}{2}=\dfrac{a}{x^2} $时,等号成立,
剩余步骤同方法二。 \\
\textbf{说明}\ $ y=x+\dfrac{a}{x^2}\ (a\neq 0) $可变形为$ x^3-x^2y+a=0 $,
属于三次曲线,它有两条渐近线,第一条是$ y=x $,第二条是$ x=0 $.
取$ a=4 $,则$ y=x+\dfrac{4}{x^2} $的图像如下:
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{三次曲线x3-x2y+4}
\end{figure} \\
更一般地,对于$ f(x)=x^m+\dfrac{a}{x^n},\ x>0,\ a>0,\ m,n\in \textbf{N}^+ $,那么
\begin{align*}
x^m+\dfrac{a}{x^n}=&\ \underbrace{\left(\frac{1}{n}x^m+\frac{1}{n}x^m+\cdots+
\frac{1}{n}x^m \right)}_{n\text{个}}+
\underbrace{\left(\frac{1}{m}\frac{a}{x^n}+\frac{1}{m}\frac{a}{x^n}
+\cdots+ \frac{1}{m}\frac{a}{x^n} \right)}_{m\text{个}} \\
\geq &\ (n+m) \left[\left(\frac{1}{n}x^m\right)^n\cdot
\left(\frac{1}{m}\dfrac{a}{x^n}\right)^m\right]^{\frac{1}{n+m}}
=(n+m) \left(\frac{a^m}{n^nm^m}\right)^{\frac{1}{n+m}}
\end{align*}
当$ \dfrac{1}{n}x^m=\dfrac{1}{m}\dfrac{a}{x^n},\
x=\left(\dfrac{na}{m}\right)^{\frac{1}{n+m}} $时,等号成立。\\
\item 已知$ 3f(x)+2f\Big(\dfrac{1}{x}\Big)=x \quad (x\neq 0) $,求$ f(x) $. \\
\textbf{解}\
\begin{align*}
\left\{
\begin{aligned}
& 3f(x)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=x \\
& 3f\left(\frac{1}{x}\right)+2f(x)=\frac{1}{x}\quad
(\text{把上式的$ x $换成$ \frac{1}{x} $})
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
解得$ f(x)=\dfrac{3x}{5}-\dfrac{2}{5x} $.
\item (2008,陕西高考)定义在\textbf{R}上的函数$ f(x) $满足$ f(x_1+x_2)= f(x_1)+f(x_2)+2 x_1x_2 $,
其中$ x_1,x_2\in \textbf{R} $,已知$ f(1)=2 $,求$ f(-3) $. \\
\textbf{方法一}\ 因为满足$ f(x_1+x_2)= f(x_1)+f(x_2)+2\lambda x_1x_2 $的函数是$ f(x)=\lambda x^2+\mu x $,对本题而言就是$ f(x)=x^2+\mu x $,根据$ f(1)=2 $可确定$ \mu=1 $,于是$ f(x)=x^2+x,\ f(-3)=(-3)^2-3=6 $. \\
\textbf{方法二}\ 令$ x_1=x_2=0 $可得$ f(0)=2f(0)+0 $,所以$ f(0)=0 $. 取$ x_1=3,\ x_2=-3 $,于是,
\begin{gather*}
0=f(3+(-3))=f(3)+f(-3)+2\times 3\times (-3)=f(3)+f(-3)-18 \\
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+4=f(1)+[f(1)+f(1)+2]+4=3f(1)+6=12
\end{gather*}
所以,$ f(-3)=18-f(3)=6 $.
\item $ ^* $ $ x_1+x_2+x_3=1,\ x_1^2+x_2^2+x_3^2=2,\
x_1^3+x_2^3+x_3^3=3 $,求$ x_1x_2x_3 $. \\
\textbf{解}\
\begin{align*}
(x_1+x_2+x_3)^2-(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=&\ 2(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=1-2=-1\\
x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=&\ -\frac{1}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
&\ (x_1+x_2+x_3)^3-(x_1^3+x_2^3+x_3^3)=1-3=-2 \\
=&\ 3(x_1^2x_2+x_1x_2^2+x_1^2x_3+x_1x_3^2+x_2^2x_3+x_2x_3^2)+6x_1x_2x_3\\
=&\ 3(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)(x_1+x_2+x_3)-3x_1x_2x_3
=-\frac{3}{2}-3x_1x_2x_3
\end{align*}
或者
\begin{align*}
& x_1^3+x_2^3+x_3^3-3x_1x_2x_3=3-3x_1x_2x_3 \\
=&\ (x_1+x_2+x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2-x_2x_3-x_3x_1)\\
=&\ 1\cdot\left(2+\dfrac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}
\end{align*}
于是$ x_1x_2x_3=\frac{1}{6} $.
根据韦达定理,$ x_1,x_2,x_3 $实际上是三次方程$ x^3-x^2-\dfrac{1}{2}x-
\dfrac{1}{6}=0 $的三个根,
借助求根公式可算出:$ x_1 \approx 1.430849566,x_{2,3}\approx -0.215424783
\pm 0.2647131993 i $.
\end{enumerate}
\section{习题}
\begin{enumerate}[label={\textbf{\arabic*.}},leftmargin=
\inteval{\myenumleftmargin}pt]
%\item $ y=\cos(2x^2+3x) $\underline{\hspace{1cm}}(填“是”或“不是”)周期函数。
%$ y=x\cos(\dfrac{1}{x}+1) $\underline{\hspace{1cm}}(填“是”或“不是”)周期函数。
%\ifteach \\
%\textbf{解}\ 不是,不是
%\fi
\item 已知$ x\in \textbf{R} $,求下列函数的最小值。\\
(1)$ |x+1|+|x-3|+|x-5| $;\quad (2) $ |x-1|+|2x-4|+|4x-16| $ .
\ifteach \\ \textbf{解}\
三个绝对值里面有三个不同的零点,三个零点把数轴分成4段,每一段上都是单调的
(都是直线),所以最小值只可能在三个零点中的某一零点处取得,
第(1)题当然是在中间零点处达到。
第(2)题只需把$ x=1,2,4 $分别代入计算,即可找出最小值。\\
(1)$ x=3 $时取得最小值6. \quad (2) $ x=4 $时取得最小值7.
\fi
\item 比较$ 2^3 $与$ 3^2 $、$ 3^4 $与$ 4^3 $、$ 4^5 $
与$ 5^4 $、$ 5^6 $与$ 6^5 $的大小,猜测一般性规律。
\ifteach \\
\textbf{解}\ 规律:当$ n\geq 3 $时,$ n^{n+1}>(n+1)^n $.
\fi
\item 比较$ \log_2 3 $与$ \log_3 4 $的大小,当$ n\geq 2 $时,
猜测$ \log_n (n+1) $与$ \log_{n+1} (n+2) $的大小的一般规律。
\ifteach \\
\textbf{解}\ $ \log_n (n+1) > \log_{n+1} (n+2) $. \\ 因为$ \log_n (n+1)=
\dfrac{\ln (n+1)}{\ln n}=\dfrac{\ln n+\ln\left(1+\dfrac{1}{n}
\right)}{\ln n}=1+\dfrac{\ln\left(1+\dfrac{1}{n}
\right)}{\ln n} $随$ n $递减。
\fi
\item 证明表\ref{函数迭代列表}中的全部结果。
\ifteach \\
\textbf{解}\ 略
\fi
\item 定义$\ f_1(x)=f(x)=\dfrac{1+x}{1-x},\ f_{n+1}(x)=f(f_n(x)) $,
其中$ n \in \textbf{N}^+ $,求$ f_{2021}(x) $.
\ifteach \\ \textbf{解}\
$ k\in \textbf{N} $, $ f_{4k+1}(x)=\dfrac{1+x}{1-x} $,
$ f_{4k+2}(x)=-\dfrac{1}{x} $, $ f_{4k+3}(x)=\dfrac{x-1}{x+1} $,
$ f_{4k+4}(x)=x $,$ f_{2021}(x)=f_1(x)=\dfrac{1+x}{1-x} $.
\fi
\item 定义数列$ \{a_n\}:\ a_1=2,a_{n+1}=\dfrac{1+a_n}{1-a_n} $,
求$ a_{2022} $.
\ifteach \\
\textbf{解}\ 数列的周期为4,$ a_{4k+1}=2,a_{4k+2}=-3,a_{4k+3}
=-\dfrac{1}{2},a_{4k+4}=\dfrac{1}{3},\ a_{2022}=a_2=-3 $.
\fi
%\item 已知$ x\geq 0 $,定义$\ f_1(x)=f(x)=x+2\sqrt{x}+1,\ f_{n+1}(x)=
%f(f_n(x)) $,求$ f_{50}(49) $.
%\ifteach \\ \textbf{解}\ 3249
%\fi
\item 定义在$ \textbf{R} $上的偶函数$ f(x) $满足$ f(x)=f(6-x) $,当$ x\in [0,3] $时,
$ f(x)=x^3-8 $,求$ f(1)+f(2)+\cdots +f(2022) $的值。
\ifteach \\ \textbf{解}\
$ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(2)+f(1)+f(0)=-3,\
f(1)+f(2)+\cdots +f(2022)=\dfrac{2022}{6}[f(1)+f(2)+\cdots+f(6)]=-1011 $.
\fi
\item 定义$ f(x)=\dfrac{a^x}{a^x+\sqrt{a}} \ (a>0,a\neq 1)$.
(1)求$ f(x)+f(1-x) $;
(2)求$ f\left(\dfrac{1}{101}\right)+f\left(\dfrac{2}{101}\right)+
\cdots +f\left(\dfrac{100}{101}\right) $.
\ifteach \\ \textbf{解}\
(1) $ f(x)+f(1-x)=1 $;\quad (2) 50.
\fi
\item 定义在$ \textbf{R} $上的函数$ f(x) $满足$ f(x+2)=\sqrt{2}f(x+1)-f(x) $,
求$ f(x) $的周期。
\ifteach
\begin{align*}
f(x+3) =&\ \sqrt{2}f(x+2)-f(x+1) \\
=&\ \sqrt{2}[\sqrt{2}f(x+1)-f(x)]-f(x+1) \\
=&\ f(x+1)-\sqrt{2}f(x) \\
f(x+4) =&\ \sqrt{2}f(x+3)-f(x+2) \\
=&\ \sqrt{2}[f(x+1)-\sqrt{2}f(x)]-[\sqrt{2}f(x+1)-f(x)] \\
=&\ -f(x) \\
f(x+8)=&\ -f(x+4)=f(x)
\end{align*}
周期是8.
\fi
\item 用尽可能多的方法求以下函数的值域,并手工绘制函数图像,然后用GeoGebra验证
值域和图像。\\
(1)$ y=\dfrac{2x+4}{x^2+x+3},\ x\in \textbf{R} $. \\
(2)$ y=\dfrac{2x^2+x+5}{x^2+x+3},\ x\in \textbf{R} $. \\
(3)$ y=\dfrac{x+1}{x^2-3x+2},\ x\neq 1,2 $. \\
(4)$ y=\dfrac{2x-\sqrt{x^2+1}}{2x+\sqrt{x^2+1}},\ x\in (-\infty,0) $. \\
(5)$ y=\dfrac{x}{(x-1)^2} $
\ifteach \\ \textbf{解}\
(1)$ \left[-\dfrac{2}{2\sqrt{5}+3},\dfrac{2}{2\sqrt{5}-3}\right] $. \\
(2)$ \left[2-\dfrac{1}{2\sqrt{3}-1},2+\dfrac{1}{2\sqrt{3}+1}\right] $. \\
(3)$ \left(-\infty,\dfrac{1}{2\sqrt{6}-5}\right] \cup
\left[-\dfrac{1}{2\sqrt{6}+5},+\infty\right) $. \\
(4) $ \left(-\infty,-1\right) \cup \left(3,+\infty\right) $. \\
(5) $ \left[-\dfrac{1}{4},+\infty\right) $.
\fi
\item 请写出满足以下函数方程并经过给定点的基本初等函数的解析式。\\
(1) $ f\left(\dfrac{1}{4}x_1+\dfrac{3}{4}x_2\right)=\dfrac{1}{4}f(x_1)+
\dfrac{3}{4}f(x_2),\ f(1)=2,\ f(3)=8 $,
则$ f(x)=\underline{\hspace{2cm}} $. \\
(2) $ f(x_1+x_2)=f(x_1)f(x_2),\ f(2)=9 $,
则$ f(x)=\underline{\hspace{2cm}} $. \\
(3) $ f(x_1x_2)=f(x_1)+f(x_2),\ f(5)=1 $,
则$ f(x)=\underline{\hspace{2cm}} $. \\
(4) $ f(x_1x_2)=f(x_1)f(x_2),\ f(3)=27 $,
则$ f(x)=\underline{\hspace{2cm}} $. \\
(5) $ f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)+4x_1x_2,\ f(1)=4 $,
则$ f(x)=\underline{\hspace{2cm}} $.
\ifteach \\
\textbf{解}\ (1) $ 3x-1 $;\quad (2) $ 3^x $;\quad
(3) $ \log_5x $;\quad (4) $ x^3 $ ;\quad (5) $ 2x^2+2x $.
\fi
\item 求解以下函数方程:\\
(1) $ 4f(x)-2f(\dfrac{1}{x})=3x^2 \quad (x\neq 0) $. \\
(2) $ 2f(x)+f(2-x)=x $. \\
(3) $ 3f(x^3)+2f(-x^3)=4x $.
\ifteach \\ \textbf{解}\
(1) $ f(x)=x^2+\dfrac{1}{2x^2} $. \\
(2) $ f(x)=x-\dfrac{2}{3} $. \\
(3) $ f(x)=4\sqrt[3]{x} $.
\fi
%
\item 因式分解:\\ (1)$ x^3-3x+2 $;\quad (2)$ x^3 + 2x^2 - x - 2 $; \\
(3)$ x^3 + 3x^2 + 4x + 4 $;\quad (4)$ 2x^3 + 9x^2 + 7x - 6 $ ;\\
再对(4)式写出韦达定理的三个式子。
\ifteach \\ \textbf{解}\
(1)$ (x-1)^2(x+2) $ \\
(2)$ (x - 1)(x + 1)(x + 2) $ \\
(3)$ (x^2+x+2)(x+2) $ \\
(4)$ (2x-1)(x+2)(x+3) $
\fi
\item 已知$ a $是实数,函数$ f(x)=ax^2+5x−20-5a $,如果$ f(x) $在区间
$ [0,5] $上有零点,求$ a $的取值范围。
\ifteach \\ \textbf{解}\
$ \left(-\infty,\dfrac{-4-\sqrt{11}}{2}\right] \cup
\left[-\dfrac{1}{4},+\infty\right) $.
\fi
\item (2022,上海春季高考)已知定义在\textbf{R}上的函数$ f(x) $,它在
$ (-\infty,0) $上单调递增,且对任意$ t>0 $,满足$ |f(x+t)-2f(x)+f(x-t)|
=|f(x+t)-f(x)|-|f(x)-f(x-t)| $,求证:$ f(x) $在\textbf{R}上单调递增。
\textbf{证}\ 取$ a=f(x+t)-f(x),\ b=f(x)-f(x-t) $,依题意,
$ |a-b|=|a|-|b|\geq 0 $,再根据$ |a-b|\geq |a|-|b| $,所以必有
$ a\geq b \geq 0\ \ \mycircled{1} $或者
$ a\leq b\leq 0\ \ \mycircled{2} $. 下面来说明\mycircled{2}不可能成立。
因为$ f(x+t)-f(x) $始终与$ f(x)-f(x-t) $同号,那么$ f(x+t)-f(x) $
与$ f(x-kt)-f(x-(k+1)t) $同号($ k\in \textbf{N}^+ $).如果存在
$ 0\leq x_1<x_2 $使得$ f(x_1)\geq f(x_2) $,令$ t=x_2-x_1>0 $,
再取充分大的$ k $,使得$ x_1-kt<0 $,那么
\begin{align*}
& f(x_2)-f(x_1)=f(x_1+t)-f(x_1) \leq 0 \\
& f(x_1-kt)-f(x_1-(k+1)t)\geq 0\q
(\because f(x)\text{在}\ (-\infty,0)\ \text{上单调递增})
\end{align*}